Hubungan Grafik Fungsi Eksponensial

Menganalisa bagaimana sih hubungan antara dua grafik fungsi eksponensial? mari kita ingat kembali bahwa bentuk umum dari fungsi eksponensial

Setelah mempelajari cara menggambar grafik fungsi eksponensial↝ kali ini kita akan menganalisa bagaimana sih hubungan antara dua grafik fungsi eksponensial? mari kita ingat kembali bahwa bentuk umum dari fungsi eksponensial adalah $$f(x)=a^x$$ dimana $a>0$, $a\ne 0$, dan $a,x ∈ R$.
$a$ disebut dengan basis atau bilangan pokok dan $x$ disebut eksponen atau pangkat.

Selanjutnya untuk mengetahui hubungan antara dua grafik fungsi eksponen kalian dapat melakukan ujicoba dengan geogebra berikut.

Link Buka Disini↝ Dari hasil ujicoba diatas kita peroleh beberapa hubungan yaitu

1. Pencerminan terhadap sumbu y

Jika diketahui fungsi $f(x)=a^x$ dan $g(x)=\left( \frac{1}{a} \right)^x$ maka hubungannya adalah fungsi $g(x)$ merupakan bayangan dari fungsi $f(x)$ hasil pencerminan terhadap sumbu $y$. perhatikan basisnya yaa..

Contoh 1

Diketahui fungsi $f(x)= 2^x$ dan $g(x)=\left( \frac{1}{2} \right)^x$ tentukan hubungan fungsi $g(x)$ terhadap fungsi $f(x)$

Alternatif Penyelesaian
Dari basis kedua fungsi terlihat saling berketerbagian sehingga hubungannya adalah $g(x)$ merupakan bayangan dari fungsi $f(x)$ hasil pencerminan terhadap sumbu $y$

2. Translasi $\begin{pmatrix} -b \\ 0 \end{pmatrix}$

Translasi atau pergeseran
Jika diketahui fungsi $f(x)=a^x$ dan $g(x)=a^{x+b}$ maka hubungannya adalah fungsi $g(x)$ merupakan bayangan dari fungsi $f(x)$ hasil translasi sebesar $\begin{pmatrix} -b \\ 0 \end{pmatrix}$. perhatikan pangkatnya yaa..

Contoh 2

Diketahui fungsi $f(x)= 3^x$ dan $g(x)=3^{x+4}$ tentukan hubungan fungsi $g(x)$ terhadap fungsi $f(x)$

Alternatif Penyelesaian
Basis sama pangkat beda dengan pangkat $f(x)$ adalah $x$ dan pangkat $g(x)$ adalah $x+4$ sehingga hubungannya adalah $g(x)$ merupakan bayangan dari fungsi $f(x)$ hasil translasi sebesar $\begin{pmatrix} -4 \\ 0 \end{pmatrix}$.

3. Translasi $\begin{pmatrix} 0 \\ c \end{pmatrix}$

Translasi atau pergeseran
Jika diketahui fungsi $f(x)=a^x$ dan $g(x)=a^x+c$ maka hubungannya adalah fungsi $g(x)$ merupakan bayangan dari fungsi $f(x)$ hasil translasi sebesar $\begin{pmatrix} 0 \\ c \end{pmatrix}$. Penambahan setelah fungsi eksponen umum.

Contoh 3

Diketahui fungsi $f(x)= 2^x$ dan $g(x)=2^x+9$ tentukan hubungan fungsi $g(x)$ terhadap fungsi $f(x)$

Alternatif Penyelesaian
Basis sama pangkat beda dengan pangkat $f(x)$ adalah $x$ dan pangkat $g(x)$ adalah $x+4$ sehingga hubungannya adalah $g(x)$ merupakan bayangan dari fungsi $f(x)$ hasil translasi sebesar $\begin{pmatrix} 0\\ 9 \end{pmatrix}$.

4. Gabungan Beberapa Transformasi

Terkadang hubungan antara dua grafik fungsi eksponen tidak hanya 1 tranformasi saja misal pencerminan saja atau transalasi saja bisa juga merupakan gabungan keduanya. Perhatikan contoh berikut.

Contoh 4

Diketahui fungsi $f(x)= 2^x$ dan $g(x)={\left( \frac12 \right)}^x-9$ tentukan hubungan fungsi $g(x)$ terhadap fungsi $f(x)$

Alternatif Penyelesaian
Mencari hubungan antara dua grafik jika diketahui fungsinya harus kita perhatikan basis dan pangkatnya. Dari kedua fungsi yaitu $f(x)= 2^x$ dan $g(x)={\left( \frac12 \right)}^x-9$ terlihat bahwa basis saling berkebalikan dan ada penambahan setelah bentuk pangkatnya jadi ada dua kemungkinan hubungan.

• Hubungan 1 perhatikan basis… Basis saling berkebalikan sehingga $g(x)$ merupakan hasil pencerminan dari $f(x)$ terhadap sumbu $y$
• ada penambahan setelah ${\left( \frac12 \right)}^x$ ini menunjukkan bahwa $g(x)$ merupakan hasil transformasi atau bayangan dari $f(x)$ oleh translasi sebesar $\begin{pmatrix} 0\\ 9 \end{pmatrix}$ dari 2 pernyataan diatas dapat disimpulkan bahwa hubungan antara $f(x)= 2^x$ dan $g(x)={\left( \frac12 \right)}^x-9$ adalah fungsi $g(x)$ merupakan bayangan dari $f(x)$ hasil transformasi pencerminan terhadap sumbu $y$ dilanjutkan dengan transalasi sebesar $\begin{pmatrix} 0\\ 9 \end{pmatrix}$.

Itulah beberapa hubungan antara dua grafik eksponen. Sebenarnya masih banyak lagi ya. Lebih detailnya nanti akan dibahas pada materi transformasi geometri secara analitik..