Kedudukan Garis Terhadap Lingkaran

Pada materi sebelumnya kita sudah belajar tentang kedudukan titik terhadap lingkaran. Selanjutnya kita akan belajar tentang kedudukan garis terhadap lingkaran.

Pada materi sebelumnya kita sudah belajar tentang kedudukan titik terhadap lingkaran. Selanjutnya kita akan belajar tentang kedudukan garis terhadap lingkaran. Jika garis $𝑦=𝑚𝑥+𝑛$ sembarang dan 𝐿 adalah lingkaran dengan jari-jari 𝑟, maka ada tiga kedudukan garis terhadap lingkaran yaitu

1. Garis memotong lingkaran pada dua titik
2. Garis menyinggung lingkaran (memiliki 1 titik potong) dan
3. Garis tidak memiliki titik potong terhadap lingkaran

Kedudukan Garis Terhadap Lingkaran

Langkah-langkah menentukan kedudukan garis terhadap lingkaran

untuk menentukan kedudukan garis terhadap lingkaran langkah-langkahnya sebagai berikut:

1. Substitusi 𝑦 dari persamaan garis $𝑦=𝑚𝑥+𝑛$ ke persamaan lingkaran L.
2. Susun persamaan kuadrat sekutu dalam variabel 𝑥 (bentuk $𝑎𝑥^2+𝑏𝑥+𝑐=0$).
3. Hitung nilai diskriminan persamaan kuadrat sekutu dengan rumus $𝐷=𝑏^2−4𝑎𝑐$.
4. Periksa tanda diskriminan 𝐷 dengan kriteria:
   1. Jika D > 0 maka garis memotong lingkaran pada dua titik.
   2. Jika D = 0 maka garis menyinggung lingkaran (ada satu titik potong)
   3. Jika D < 0 maka garis tidak memiliki titik potong dengan lingkaran.

Contoh 1

Tentukan kedudukan garis $𝑥+𝑦–2=0$ terhadap lingkaran $𝑥^2+𝑦^2–4𝑥+2𝑦–20=0$!

Pembahasan

Garis $𝑥+𝑦–2=0\Rightarrow 𝑦=–𝑥+2$
Substitusikan $𝑦 =–𝑥+2$ ke persamaan lingkaran, sehingga diperoleh: $$\begin{align*} 𝑥^2+𝑦^2–4𝑥+2𝑦–20&=0\\\Leftrightarrow 𝑥^2+(–𝑥+2)^2–4𝑥+2(–𝑥+2)−20&=0\\\Leftrightarrow 𝑥^2+𝑥^2−4𝑥+4−4𝑥−2𝑥+4−20&=0\\ \Leftrightarrow 2𝑥^2−10𝑥−12=0\\ \Leftrightarrow 𝑥^2−5𝑥−6=0 \end{align*}$$ Diperoleh nilai 𝑎=1, 𝑏=−5, dan 𝑐=−6
Nilai Diskriminan $$\begin{align*} 𝐷&=𝑏^2−4𝑎𝑐\\&=(−5)^2−4(1)(−6)\\&=49>0\rightarrow D>0 \end{align*}$$ $\therefore$ Karena nilai $𝐷>0$, maka garis $𝑥+𝑦–2=0$ memotong lingkaran pada dua titik

Tambahan
Untuk menentukan titik potong antara garis dan lingkaran, maka kita memfaktorkan persamaan kuadrat sekutu sebagai berikut. $$\begin{align*} 𝑥^2−5𝑥−6=0 &\Leftrightarrow (𝑥−6)(𝑥+1)=0\\ &\Leftrightarrow 𝑥−6=0 \text{ atau }𝑥+1=0\\&\Leftrightarrow 𝑥=6 \text{ atau }𝑥=-1 \end{align*}$$ Untuk $𝑥=−1\Rightarrow 𝑦=−(−1)+2 \Rightarrow 𝑦=3$
Untuk $𝑥=6\Rightarrow 𝑦=−(6)+2 \Rightarrow 𝑦=-4$
sehingga diperoleh titik potong antara garis dan lingkaran pada titik (–1, 3) dan titik (6, –4).

Contoh 2

Diketahui lingkaran dengan persamaan $𝑥^2+𝑦^2−6𝑥−2𝑦−10=0$. Tentukan kedudukan garis $𝑦=−2𝑥+17$ terhadap lingkaran tersebut!

Pembahasan
Substitusi $𝑦=−2𝑥+17$ ke pers. Lingkaran $𝑥^2+𝑦^2−6𝑥−2𝑦−10=0$ $$\begin{align*} &𝑥^2+𝑦^2−6𝑥−2𝑦−10=0\\&\Leftrightarrow 𝑥^2+(−2𝑥+17)^2−6𝑥−2(−2𝑥+17)−10=0\\ &\Leftrightarrow 𝑥^2+4𝑥^2−68𝑥+289−6𝑥+4𝑥−34−10=0\\&\Leftrightarrow 5𝑥^2−70𝑥+245=0\\ &\Leftrightarrow 𝑥^2−14𝑥+49=0 \end{align*}$$ Diperoleh nilai 𝑎=1, 𝑏=−14, dan 𝑐=49
Nilai Diskriminan $$\begin{align*} 𝐷&=𝑏^2−4𝑎𝑐\\&=(−14)^2−4(1)(49)\\&=196-196\\&=0\rightarrow D=0 \end{align*}$$ $\therefore$ Karena nilai $𝐷=0$, maka garis $𝑦=−2𝑥+17$ menyinggung lingkaran

Contoh 3

Diketahui lingkaran dengan persamaan $𝑥^2+𝑦^2−4𝑥−𝑦+3=0$. Tentukan nilai $𝑚$ jika garis $𝑦=𝑚𝑥+2$ menyinggung lingkaran tersebut!

Pembahasan
Substitusi $𝑦=𝑚𝑥+2$ ke pers. Lingkaran $𝑥^2+𝑦^2−4𝑥−𝑦+3=0$ $$\begin{align*} &𝑥^2+𝑦^2−4𝑥−𝑦+3=0\\&\Leftrightarrow 𝑥^2+(𝑚𝑥+2)^2−4𝑥−(𝑚𝑥+2)+3=0\\ &\Leftrightarrow 𝑥^2+𝑚^2 𝑥^2+4𝑚𝑥+4−4𝑥−𝑚𝑥−2+3=0\\&\Leftrightarrow (1+𝑚^2 ) 𝑥^2+(3𝑚−4)𝑥+5=0 \end{align*}$$ Diperoleh nilai $𝑎=1+𝑚^2, 𝑏=3𝑚−4$, dan $𝑐=5$
Nilai Diskriminan $$\begin{align*} 𝐷&=𝑏^2−4𝑎𝑐\\&=(3𝑚−4)^2−4(1+𝑚^2)(5)\\&=9𝑚^2−24𝑚+16−20−20𝑚^2\\&=−11𝑚^2−24𝑚−4 \end{align*}$$ Karena garis menyinggung lingkaran maka 𝐷=0 $$\begin{align*} −11𝑚^2−24𝑚−4=0&\Leftrightarrow(11)^2+24𝑚+4=0\\&\Leftrightarrow(11𝑚+2)(𝑚+2)=0\\&\Leftrightarrow 𝑚=-\frac{2}{11}\text{ atau }𝑚=−2 \end{align*}$$ $\therefore$ Jadi, nilai $m=-\frac{2}{11}$ atau $m=-2$.

Latihan

untuk memperdalam kemampuan dalam mempelajari materi ini silahkan dicoba latihan berikut ya

• Tentukan kedudukan garis $𝑦 = 2𝑥 + 8$ terhadap lingkaran $𝑥^2+𝑦^2+4𝑥+2𝑦–20 =0$. Kemudian tentukan titik potongnya jika ada.