Latihan Soal Persamaan Eksponen Lanjut

Bakhtiar Rifai• 3 Sep 2022

#Latihan Soal #Matematika SMA #Matematika #Persamaan Eksponen

Kali ini kita akan membahas beberapa soal mengenai persamaan eksponen lanjut. Namun, sebelumnya silahkan pelajari materinya dulu ya.

Kali ini kita akan membahas beberapa soal mengenai persamaan eksponen lanjut. Namun, sebelumnya silahkan pelajari materinya dulu ya Persamaan Eksponen Lanjut↝ .

Tentukan himpunan penyelesaian dari
1. $5^{x-7}=11^{x-7}$
2. $7^{4x+5}\times2^{-4x}=112$
soal diatas bentuknya adalah $a^{f(x)}=b^{f(x)}$ atau basis berupa bilangan berbeda dan pangkat sama berupa fungsi maka solusinya adalah pangkat=0 atau $f(x)=0$
1. $5^{x-7}=11^{x-7}$ Maka
  $x-7=0 \newline x=7$
  Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {7}
2. $7^{4x+5}\times2^{-4x}=112$
  $7^{4x+5}\times2^{-4x}=7\times 16 \newline 7^{4x+5}\times2^{-4x}=7\times 2^4 \newline \frac{7^{4x+5}}{7} = \frac{2^4}{2^{-4x}} \newline 7^{4x+4}=2^{4x+4}$ maka
  $4x+4=0 \newline 4x=-4 \newline x=1$
  Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {1}
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan eksponen berikut
1. $2^{x^2-6x-16}=6^{x^2-6x-16}$
2. $5^{x^2+2x-6}=\frac{25}{32}\cdot 2^{x^2+2x-3}$
soal diatas bentuknya adalah $a^{f(x)}=b^{f(x)}$ atau basis berupa bilangan berbeda dan pangkat sama berupa fungsi maka solusinya adalah pangkat=0 atau $f(x)=0$
1. $2^{x^2-6x-16}=6^{x^2-6x-16}$
  Maka
  $x^2-6x-16=0 \text{ (faktorkan)} \newline (x-8)(x+2)=0$
  $x=8\text{ atau }x=-2$
  Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {-2,8}
2. $5^{x^2+2x-6}=\frac{25}{32}\cdot 2^{x^2+2x-3}$ (jika bilangan itu bisa dirubah ke bentuk pangkat rubahlah ke bentuk pangkat)
  $\begin{align*}5^{x^2+2x-6}&=\frac{25}{32}\cdot 2^{x^2+2x-3}\\5^{x^2+2x-6}&=\frac{5^2}{2^5}\cdot 2^{x^2+2x-3}\\\frac{5^{x^2+2x-6}}{5^2}&=\frac{2^{x^2+2x-3}}{2^5}\\5^{x^2+2x-8}&=2^{x^2+2x-8}\end{align*}$
  Maka
  $x^2+2x-8=0 \newline (x+4)(x-2)=0 \newline x=-4 \text{ atau } x=2$
  Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {-4,2}
Tentukan himpunan penyelesaian dari
1. ${\left( 3x+2 \right)}^{2x+5}={\left( 3x+2 \right)}^{x-2}$
2. ${\left( x-3 \right)}^{x+5}={\left( x-3 \right)}^{x^2-x-3}$
1. ${\left( 3x+2 \right)}^{2x+5}={\left( 3x+2 \right)}^{x-2}$
  $h(x)=3x+2 \newline f(x)=2x+5 \newline g(x)=x-2$
  - Kemungkinan 1:
    ${\left[ h(x) \right]}^{f(x)}={\left[ h(x) \right]}^{g(x)}\Rightarrow f(x)=g(x)$
    $2x+5=x-2$
    $2x-x=-2-5 \newline x=-7$
  - Kemungkinan 2:
    ${\left[ h(x) \right]}^{f(x)}={\left[ h(x) \right]}^{g(x)}\Rightarrow h(x)=1$
    $3x+2=1 \newline 3x=-1 \newline x=-\frac{1}{3}$
  - Kemungkinan 3:
    ${\left[ h(x) \right]}^{f(x)}={\left[ h(x) \right]}^{g(x)}\Rightarrow h(x)=0$
    asal f(x) dan g(x) positif
    $3x+2=0 \newline 3x=-2 \newline x=-\frac{2}{3}$
    Cek apakah f(x) dan g(x) positif
    $f(x)=2x+5 \newline f\left(-\frac{2}{3} \right)=2\left( -\frac{2}{3} \right)+5=\frac73>0$
    $g(x)=x-2 \newline g\left( -\frac{2}{3} \right)=\left( -\frac{2}{3} \right)-2=-\frac83<0 \newline$
    Karena g(x)<0 (bernilai negatif) maka $x=-\frac{2}{3}$ tidak memenuhi
  - Kemungkinan 4:
    ${\left[ h(x) \right]}^{f(x)}={\left[ h(x) \right]}^{g(x)}\Rightarrow h(x)=-1$
    asal f(x) dan g(x) keduanya genap atau keduanya ganjil
    $3x+2=-1 \newline 3x=-3 \newline x=-1$
    Cek apakah f(x) dan g(x) keduanya genap atau keduanya ganjil
    $f(x)=2x+5 \newline f\left( -1 \right)=2\left( -1 \right)+5=3$ (ganjil)
    $g(x)=x-2 \newline g\left( -1 \right)=\left( -1 \right)-2=-3$ (ganjil)
    Karena f(x) dan g(x) keduanya ganjil maka $x=-1$ memenuhi
  Jadi, himpunan penyelesainnya adalah $\lbrace -7,-1,-\frac13 \rbrace$
2. ${\left( x-3 \right)}^{x+5}={\left( x-3 \right)}^{x^2-x-3}$
  $h(x)=x-3 \newline f(x)=x+5 \newline g(x)=x^2-x-3$
  - ${\left[ h(x) \right]}^{f(x)}={\left[ h(x) \right]}^{g(x)}\Rightarrow f(x)=g(x)$
    $x+5=x^2-x-3$
    $x^2-2x-8=0 \newline (x-4)(x+2)=0$
    $x=4$ atau $x=-2$
  - ${\left[ h(x) \right]}^{f(x)}={\left[ h(x) \right]}^{g(x)}\Rightarrow h(x)=1$
    $x-3=1 \newline x=4$
  - ${\left[ h(x) \right]}^{f(x)}={\left[ h(x) \right]}^{g(x)}\Rightarrow h(x)=0$
    asal f(x) dan g(x) positif
    $x-3=0 \newline x=3 \newline$
    Cek apakah f(x) dan g(x) positif
    $f(x)=x+5 \newline f\left( 3 \right)=3+5=8>0$
    $g(x)=x^2-x-3 \newline g\left( 3 \right)=3^2-3-3=3>0$
    Karena f(x) dan g(x) keduanya positif maka $x=3$ memenuhi
  - ${\left[ h(x) \right]}^{f(x)}={\left[ h(x) \right]}^{g(x)}\Rightarrow h(x)=-1$ asal f(x) dan g(x) keduanya genap atau keduanya ganjil $\begin{align*}& x-3=-1 \newline & x=2 \end{align*}$
    Cek apakah f(x) dan g(x) keduanya genap atau keduanya ganjil $\begin{align*}& f(x)=x+5 \newline & f\left( 2 \right)=2+5=7\text{ (ganjil)} \newline & g(x)=x^2-x-3 \newline & g\left( 2 \right)=2^2-2-3=-1\text{ (ganjil)} \end{align*}$
    Karena f(x) ganjil dan g(x) ganjil maka $x=2$ memenuhi
    Jadi, himpunan penyelesainnya adalah $\lbrace -2,2,3,4 \rbrace$
Tentukan himpunan penyelesaian dari
1. ${\left( x+3 \right)}^{x^2-3x-10}={\left( x+3 \right)}^{2x^2-x-18}$
2. ${\left( x^2-10x+24 \right)}^{2x+1}={\left( x^2-10x+24 \right)}^{x+2}$
1. ${\left( x+3 \right)}^{x^2-3x-10}={\left( x+3 \right)}^{2x^2-x-18}$
  $h(x)=x+3 \newline f(x)=x^2-3x-10 \newline g(x)=2x^2-x-18$
  - Kemungkinan 1:
    ${\left[ h(x) \right]}^{f(x)}={\left[ h(x) \right]}^{g(x)}\Rightarrow f(x)=g(x)$
    $x^2-3x-10=2x^2-x-18$
    $x^2+2x-8=0 \newline (x+4)(x-2)=0 \newline x=-4 \text{ atau } x=2$
  - Kemungkinan 2:
    ${\left[ h(x) \right]}^{f(x)}={\left[ h(x) \right]}^{g(x)}\Rightarrow h(x)=1$
    $x+3=1 \newline x=-2$
  - Kemungkinan 3:
    ${\left[ h(x) \right]}^{f(x)}={\left[ h(x) \right]}^{g(x)}\Rightarrow h(x)=0$
    asal f(x) dan g(x) positif
    $x+3=0 \newline x=-3$
    Cek apakah f(x) dan g(x) positif
    $f(x)=x^2-3x-10 \newline f\left(-3 \right)=(-3)^2-3(-3)-10=8>0$
    $g(x)=2x^2-x-18 \newline g\left(-3 \right)=2(-3)^2-(-3)-18=3>0$
    Karena $g(x)>0$ dan $f(x)>0$ (bernilai positif) maka $x=-3$ memenuhi
  - Kemungkinan 4:
    ${\left[ h(x) \right]}^{f(x)}={\left[ h(x) \right]}^{g(x)}\Rightarrow h(x)=-1$
    asal f(x) dan g(x) keduanya genap atau keduanya ganjil
    $x+3=-1 \newline x=-4$
    Cek apakah f(x) dan g(x) keduanya genap atau keduanya ganjil
    $f(x)=x^2-3x-10 \newline f\left(-4 \right)=(-4)^2-3(-4)-10=18\text{ (genap)}$
    $g(x)=2x^2-x-18 \newline g\left(-4 \right)=2(-4)^2-(-4)-18=18\text{ (genap)}$
    Karena f(x) dan g(x) keduanya genap maka $x=-4$ memenuhi
  Jadi, himpunan penyelesainnya adalah $\lbrace -4,-3,-2,2 \rbrace$
2. ${\left( x^2-10x+24 \right)}^{2x+1}={\left( x^2-10x+24 \right)}^{x+2}$
  $h(x)=x^2-10x+24 \newline f(x)=2x+1 \newline g(x)=x+2$
  - Kemungkinan 1:
    $f(x)=g(x)$
    $2x+1=x+2$
    $x=1$
  - Kemungkinan 2:
    $h(x)=1$
    $x^2-10x+24=1 \newline x^2-10x+23=0$
    gunakan rumus abc $x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ untuk mencari nilai $x$
    $\begin{align*}x_{1,2}&=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\ x_{1,2}&=\frac{-(-10)\pm\sqrt{(-10)^2-4(1)(23)}}{2(1)} \\ &=\frac{10\pm\sqrt{100-92}}{2} \\ &=\frac{10\pm\sqrt{8}}{2} \\ &=\frac{10\pm 2\sqrt{2}}{2}\\ x_{1,2}&=5\pm \sqrt{2} \end{align*}$
  - Kemungkinan 3:
    $h(x)=0$
    asal f(x) dan g(x) positif
    $x^2-10x+24=0 \newline (x-6)(x-4)=0 \newline x=6 \text{ atau } x=4$
    Cek apakah f(x) dan g(x) positif
    untuk $x=6$
    $f(x)=2x+1 \newline f\left(6 \right)=2(6)+1=13>0$
    $g(x)=x+2 \newline g\left( 6 \right)=6+2=8>0$
    Karena $g(x)>0$ dan $f(x)>0$ (bernilai positif) maka $x=6$ memenuhi
    untuk $x=4$
    $f(x)=2x+1 \newline f\left(4 \right)=2(4)+1=9>0$
    $g(x)=x+2 \newline g\left( 4 \right)=4+2=6>0$
    Karena $g(x)>0$ dan $f(x)>0$ (bernilai positif) maka $x=4$ memenuhi
  - Kemungkinan 4:
    $h(x)=-1$
    asal f(x) dan g(x) keduanya genap atau keduanya ganjil
    $x^2-10x+24=-1 \newline x^2-10x+25=0 \text{ (faktorkan)} \newline (x-5)(x-5)=0 \newline x=5 \text{ atau } x=5$
    Cek apakah f(x) dan g(x) keduanya genap atau keduanya ganjil
    $f(x)=2x+1 \newline f\left(5 \right)=2(5)+1=11\text{ (ganjil)}$
    $g(x)=x+2 \newline g\left(5 \right)=5+2=7\text{ (ganjil)}$
    Karena f(x) dan g(x) keduanya ganjil maka $x=5$ memenuhi
  Jadi, himpunan penyelesainnya adalah $\lbrace 1,5- \sqrt{2},4,5,5+ \sqrt{2},6 \rbrace$
Tentukan himpunan penyelesaian dari
1. $2^{2x}-10\cdot 2^x+16=0$
2. $5^{2x}-6\cdot 5^x+5=0$
1. $2^{2x}-10\cdot2^{x+2}+16=0$
  $\begin{align*} 2^{2x}-10\cdot 2^x+16=0 \\{(2^x)}^2-10\cdot 2^x+16=0 \end{align*}$ Misalkan $2^x=p$ , maka $\begin{align*} p^2-10p+16=0 \\ (p-8)(p-2)=0 \\ p=8 \text{ atau } p=2 \end{align*}$ Untuk $p=8\Rightarrow 2^x=8$
  $\begin{align*}2^x=2^3 \\ x=3 \end{align*}$ Untuk $p=4\Rightarrow 2^x=2$ $\begin{align*}2^x=2 \\ x=1 \end{align*}$ Jadi, himpunan penyelesainnya adalah $\lbrace 1,3 \rbrace$
2. $5^{2x}-6\cdot 5^x+5=0$
  $\begin{align*} 5^{2x}-6\cdot 5^x+5=0 \\{(5^x)}^2-6\cdot 2^x+5=0 \end{align*}$ Misalkan $5^x=p$ , maka $\begin{align*} p^2-6p+5=0 \\ (p-5)(p-1)=0 \\ p=5 \text{ atau } p=1 \end{align*}$ Untuk $p=5\Rightarrow 5^x=5$
  $\begin{align*}5^x=5 \\ x=1 \end{align*}$ Untuk $p=1\Rightarrow 5^x=1$ $\begin{align*}5^x=1 \\ x=0 \end{align*}$ Jadi, himpunan penyelesainnya adalah $\lbrace 0,1 \rbrace$
Tentukan himpunan penyelesaian dari
1. ${25}^{x}+5^{3-2x}=30$
2. $2^{x+2}-4^{x+1}=-960$
1. ${25}^{x}+5^{3-2x}=30$
  $\begin{align*} &{25}^{x}+5^{3-2x}=30 \\\ &5^{2x}+\frac{5^3}{5^{2x}}=30 \\ &5^{2x}+\frac{125}{5^{2x}}=30 \text{ masing ruas }\times 5^{2x}\\\ &{(5^{2x})}^2+125=30\cdot5^{2x}\\ &{(5^{2x})}^2-30\cdot5^{2x}+125=0 \end{align*}$ Misalkan $5^{2x}=p$ , maka $\begin{align*} & p^2-30p+125=0 \newline & (p-5)(p-25)=0 \newline &p=5 \text{ atau } p=25 \end{align*}$ Untuk $p=15\Rightarrow 5^{2x}=5$ $\begin{align*} 5^{2x}=5 \newline 2x=1 \newline x=\frac12 \end{align*}$ Untuk $p=15\Rightarrow 5^{2x}=25$ $\begin{align*} 5^{2x}=25 \newline 5^{2x}=5^2 \newline 2x=2 \newline x=1 \end{align*}$ Jadi, himpunan penyelesainnya adalah $\lbrace \frac12,1 \rbrace$ .
2. $2^{x+2}-4^{x+1}=-960$
  $\begin{align*} & 2^{x+2}-4^{x+1}=-960 \\ & 2^x\cdot 2^2-2^{2(x+1)}+960=0 \\ & 4\cdot 2^x -2^{2x}\cdot2^2+960=0 \\ & 4\cdot 2^x -4\cdot {(2^x)^2}+960=0 \text{ (bagi -4)}\\ & -2^x +(2^x)^2-240=0 \\ & (2^x)^2 -2^x -240=0 \\ \end{align*}$ Misalkan $2^x=p$ , maka $\begin{align*}& p^2-p-240=0 \\ & (p-16)(p+15)=0 \\ &p=16\text{ atau }p=-15 \end{align*}$ Untuk $p=16\Rightarrow 2^x=16$ $\begin{align*}& 2^x=16 \\ &2^x=2^4 \\ &x=4 \end{align*}$ Untuk $p=-15\Rightarrow 2^x=-15$ tidak mungkin karena bilangan positif dipangkatkan berapapun hasilnya juga positif
  Jadi, himpunan penyelesainnya adalah {4}.

Latihan Soal Persamaan Eksponen Lanjut

Soal HOTS Jarak Titik, Garis, Dan Bidang Pada Bangun Ruang

Latihan Soal PTS Matematika Peminatan Kelas XI

Artikel Terkait

Komentar