Latihan Soal Persamaan Trigonometri Bentuk Kuadrat

Bakhtiar Rifai• 16 Aug 2022

#Trigonometri #Matematika SMA #Persamaan Trigonometri #Persamaan Kuarat

Persamaan trigonometri terkadang ada yang berbentuk persamaan kuadrat, atau mengharuskan kita untuk mengubah bentuknya menjadi persamaan kuadrat sehingga penyelesaian bisa kita peroleh dengan menggunakan aturan dalam persamaan kuadrat. Oleh karena itu, kalian harus sudah memahami tentang pemfaktoran persamaan kuadrat dan menguasai identitas trigonometri dengan baik.

Untuk mencari penyelesaian persamaan trigonometri bentuk kuadrat, kalian harus sudah memahami tentang pemfaktoran persamaan kuadrat, penyelesaian persamaan trigonometri sederhana↝ dan menguasai identitas trigonometri dengan baik. Berikut beberapa contoh soal tentang persamaan trigonometri bentuk kuadrat

Latihan Soal

Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan $2{{\cos }^{2}}x+\cos x-1=0$ , untuk $0\le x\le 360{}^\circ$
Dengan memisalkan $\cos x=p$ maka
$2{{\cos }^{2}}x+\cos x-1=0$ (memisalkan $\cos x=p$ )
$\Leftrightarrow 2{{p}^{2}}+p-1=0$
$\Leftrightarrow (2p-1)(p+1)=0$
$\Leftrightarrow 2p-1=0$ atau $p+1=0$
$\Leftrightarrow p=\frac{1}{2}$ atau $p=-1$ (rubah lagi $p=\cos x$ )
$\Leftrightarrow \cos x=\frac{1}{2}$ atau $\cos x=-1$
Untuk $\cos x=\frac{1}{2}=\cos 60{}^\circ$
- $x=60{}^\circ +k.360{}^\circ$
  Untuk $k=1\Rightarrow x=60{}^\circ$
- $x=-60{}^\circ +k.360{}^\circ$
  Untuk $k=1\Rightarrow x=300{}^\circ$
Untuk $\cos x=-1=\cos 180{}^\circ$
- $x=180{}^\circ +k.360{}^\circ$
  Untuk $k=0\Rightarrow x=180{}^\circ$
- $x=-180{}^\circ +k.360{}^\circ$
  Untuk $k=1\Rightarrow x=180{}^\circ$
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah $\lbrace60{}^\circ ,180{}^\circ ,300{}^\circ \rbrace$
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan $4\sin^2x-1=0$ , untuk $0\le x\le 360{}^\circ$
Dengan memisalkan $\sin x=p$ maka
$4\sin^2x-1=0$ (memisalkan $\sin x=p$ )
$\Leftrightarrow 4p^2-1=0$
$\Leftrightarrow (2p-1)(2p+1)=0$
$\Leftrightarrow 2p-1=0$ atau $2p+1=0$
$\Leftrightarrow p=\frac{1}{2}$ atau $p=-\frac{1}{2}$ (rubah lagi $p=\sin x$ )
$\Leftrightarrow \sin x=\frac{1}{2}$ atau $\sin x=-1$
Untuk $\sin x=\frac{1}{2}=\sin 30^\circ$
- $x=30^\circ +k.360^\circ$
  Untuk $k=0\Rightarrow x=30^\circ$
- $x=(180^\circ-30^\circ) +k.360^\circ$
  $x=150^\circ +k.360^\circ$
  Untuk $k=0\Rightarrow x=150^\circ$
Untuk $\sin x=-\frac12=\sin 210^\circ$
- $x=210^\circ +k.360^\circ$
  Untuk $k=0\Rightarrow x=210^\circ$
- $x=(180^\circ-210^\circ) +k.360^\circ$
  $x=-30^\circ +k.360^\circ$
  Untuk $k=1\Rightarrow x=330^\circ$
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah $\lbrace 30^\circ ,150^\circ,210^\circ, 330^\circ\rbrace$
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan $\tan^2x-1=0$ , untuk $0\le x\le 360^\circ$
$\tan^2x-1=0$
$\Leftrightarrow p^2-1=0$ misal $\tan x=p$
$\Leftrightarrow(p-1)(p+1)=0$
$\Leftrightarrow p=1$ atau $p=-1$
$\Leftrightarrow \tan x=1$ atau $\tan x=-1$ (rubah lagi $p=\tan x$ )
Untuk $\tan x=1=\tan 45^\circ$ maka diperoleh
- $x=45^\circ +k.180^\circ$
  Untuk $k=0\Rightarrow x=45^\circ$
  Untuk $k=1\Rightarrow x=225^\circ$
Untuk $\tan x=-1=\tan 35^\circ$
- $x=135^\circ +k.180^\circ$
  Untuk $k=0\Rightarrow x=135^\circ$
  Untuk $k=1\Rightarrow x=315^\circ$
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah $\lbrace 45^\circ ,135^\circ ,225^\circ,315^\circ \rbrace$
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan $2\sin^2x-1=0$ , untuk $0\le x\le 2\pi$
Dengan memisalkan $\sin x=p$ maka
$2\sin^x-1=0$ (memisalkan $\sin x=p$ )
$\Leftrightarrow 2p^2-1=0$
$\Leftrightarrow (\sqrt2 p-1)(\sqrt2 p+1)=0$
$\Leftrightarrow \sqrt2p-1=0$ atau $\sqrt2p+1=0$
$\Leftrightarrow p=\frac{1}{\sqrt2}$ atau $p=-\frac{1}{\sqrt2}$ (rasionalkan bentuk akar)
$\Leftrightarrow p=\frac12\sqrt2$ atau $p=-\frac12\sqrt2$ (rubah lagi $p=\sin x$ )
$\Leftrightarrow \sin x=\frac12\sqrt2$ atau $\sin x=-\frac12\sqrt2$
Untuk $\sin x=\frac12\sqrt2=\sin 45^\circ=\sin \frac14\pi$
- $x=\frac14\pi +k.2\pi$
  Untuk $k=0\Rightarrow x=\frac14\pi$
- $x=(\pi-\frac14\pi) +k.2\pi$
  $x=\frac34\pi +k.2\pi$
  Untuk $k=0\Rightarrow x=\frac34\pi$
Untuk $\sin x=-\frac12\sqrt2=\sin 225^\circ=\sin \frac54\pi$
- $x=\frac54\pi +k.2\pi$
  Untuk $k=0\Rightarrow x=\frac54\pi$
- $x=(\pi-\frac54\pi) +k.2\pi$
  $x=-\frac14\pi +k.2\pi$
  Untuk $k=1\Rightarrow x=\frac74\pi$
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah $\lbrace \frac14\pi,\frac34\pi,\frac54\pi,\frac74\pi \rbrace$
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan $2\cos^2x-5\cos x-3=0$ , untuk $0\le x\le 2\pi$
Dengan memisalkan $\cos x=p$ maka
$2\cos ^2x-5\cos x-3=0$ (memisalkan $\cos x=p$ )
$\Leftrightarrow 2p^2-5p-3=0$
$\Leftrightarrow (2p+1)(p-3)=0$
$\Leftrightarrow 2p+1=0$ atau $p-3=0$
$\Leftrightarrow p=-\frac{1}{2}$ atau $p=3$ (rubah lagi $p=\cos x$ )
$\Leftrightarrow \cos x=-\frac{1}{2}$ atau $\cos x=3$
Untuk $\cos x=-\frac{1}{2}=\cos 120^\circ=\cos \frac23\pi$
- $x=\frac23\pi +k.2\pi$
  Untuk $k=0\Rightarrow x=\frac23\pi$
- $x=-\frac23\pi +k.2\pi$
  Untuk $k=1\Rightarrow x=\frac43\pi$
Untuk $\cos x=3$ jelas tidak memenuhi karena nilai $\cos x$ maksimal adalah 1
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah $\lbrace \frac23\pi,\frac43\pi \rbrace$
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan $\tan^2x-3=0$ , untuk $0\le x\le 2\pi$
$\tan^2x-3=0$
$\Leftrightarrow p^2-3=0$ misal $\tan x=p$
$\Leftrightarrow(p-\sqrt3)(p+\sqrt3)=0$
$\Leftrightarrow p=\sqrt3$ atau $p=-\sqrt3$
$\Leftrightarrow \tan x=\sqrt3$ atau $\tan x=-\sqrt3$ (rubah lagi $p=\tan x$ )
Untuk $\tan x=\sqrt3=\tan 60^\circ =\tan \frac13 \pi$ maka diperoleh
- $x=\frac13 \pi +k.\pi$
  Untuk $k=0\Rightarrow x=\frac13 \pi$
  Untuk $k=1\Rightarrow x=\frac43 \pi$
Untuk $\tan x=-\sqrt3=\tan 120^\circ=\tan \frac23 \pi$
- $x=\frac23 \pi +k.\pi$
  Untuk $k=0\Rightarrow x=\frac23 \pi$
  Untuk $k=1\Rightarrow x=\frac53 \pi$
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah $\lbrace \frac13 \pi,\frac23 \pi,\frac43 \pi,\frac53 \pi \rbrace$
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan $4\sin^23x-1=0$ , untuk $0\le x\le 360{}^\circ$
Dengan memisalkan $\sin 3x=p$ maka
$4\sin^2x-1=0$ (memisalkan $\sin 3x=p$ )
$\Leftrightarrow 4p^2-1=0$
$\Leftrightarrow (2p-1)(2p+1)=0$
$\Leftrightarrow 2p-1=0$ atau $2p+1=0$
$\Leftrightarrow p=\frac{1}{2}$ atau $p=-\frac{1}{2}$ (rubah lagi $p=\sin 3x$ )
$\Leftrightarrow \sin 3x=\frac{1}{2}$ atau $\sin 3x=-1$
Untuk $\sin 3x=\frac{1}{2}=\sin 30^\circ$
- $3x=30^\circ +k.360^\circ$ masing-masing dibagi 3
  $x=10^\circ +k.120^\circ$
  Untuk $k=0\Rightarrow x=10^\circ$
  Untuk $k=1\Rightarrow x=130^\circ$
  Untuk $k=2\Rightarrow x=250^\circ$
- $3x=(180^\circ-30^\circ) +k.360^\circ$
  $3x=150^\circ +k.360^\circ$ masing-masing ruas dibagi 3
  $x=50^\circ +k.120^\circ$
  Untuk $k=0\Rightarrow x=50^\circ$
  Untuk $k=1\Rightarrow x=170^\circ$
  Untuk $k=2\Rightarrow x=290^\circ$
Untuk $\sin 3x=-\frac12=\sin 210^\circ$
- $3x=210^\circ +k.360^\circ$
  $\Rightarrow x=70^\circ +k.120^\circ$
  Untuk $k=0\Rightarrow x=70^\circ$
  Untuk $k=1\Rightarrow x=190^\circ$
  Untuk $k=3\Rightarrow x=310^\circ$
- $x3=(180^\circ-210^\circ) +k.360^\circ$
  $\Rightarrow 3x=-30^\circ +k.360^\circ$
  $\Rightarrow x=-10^\circ +k.120^\circ$
  Untuk $k=1\Rightarrow x=110^\circ$
  Untuk $k=2\Rightarrow x=230^\circ$
  Untuk $k=3\Rightarrow x=350^\circ$
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah $\lbrace 10^\circ, 50^\circ, 70^\circ,110^\circ,130^\circ,170^\circ,$ $190^\circ,230^\circ,250^\circ, 290^\circ,310^\circ,350^\circ \rbrace$

Latihan Soal Persamaan Trigonometri Bentuk Kuadrat

Latihan Soal

Dimensi Tiga: Konsep Jarak Titik Pada Bangun Ruang

Hubungan Grafik Fungsi Eksponensial

Artikel Terkait

Komentar