Latihan Soal PTS Matematika Peminatan Kelas X Fungsi Eksponen

Sudah siap belum menghadapi PTS? kali ini kami berbagi beberapa soal tentang PTS matematika peminatan kelas X materinya Fungsi Eksponen.

Sebentar lagi PTS nih atau penilaian tengah semester…

Sudah siap belum menghadapi PTS? kali ini saya berbagi beberapa soal tentang PTS matematika peminatan kelas X materinya Fungsi Eksponen. Nah bagi, yang belum tau materinya silahkan pelajari dulu Konsep Fungsi Eksponen↝ , Grafik Fungsi Eksponen↝ , Persamaan Eksponen Sederhana↝ , Persamaan Eksponen lanjut↝

1. Jika $x=36$ dan $y=125$. Tentukanlah nilai dari $\dfrac{x^{-\frac{3}{2}}\cdot \sqrt[3]{y^2}}{y^{\frac{1}{3}}-x^{\frac{1}{2}}}$!

Alternatif Penyelesaian

Jika $x=36$ dan $y=125$.
nilai dari $\dfrac{x^{-\frac{3}{2}}\cdot \sqrt[3]{y^2}}{y^{\frac{1}{3}}-x^{\frac{1}{2}}}$

$$\begin{align*} \dfrac{x^{-\frac{3}{2}}\cdot \sqrt[3]{y^2}}{y^{\frac{1}{3}}-x^{\frac{1}{2}}}&=\dfrac{36^{-\frac{3}{2}}\cdot \sqrt[3]{125^2}}{125^{\frac{1}{3}}-36^{\frac{1}{2}}}\\&=\dfrac{6^{2(-\frac{3}{2})}\cdot {5^{3(\frac23)}}}{5^{3(\frac{1}{3})}-6^{2(\frac{1}{2})}}\\&=\dfrac{6^{-3}\cdot {5^2}}{5-6}\\&=\dfrac{\frac{1}{6^3}\cdot 25}{-1}\\&=-\dfrac{25}{216}\end{align*}$$

2. Pada pukul 08.00 pagi massa suatu zat radioaktif adalah 0,2 kg. Apabila diketahui laju peluruhan zat radioaktif tersebut 10% setiap jam, hitunglah sisa zat radioaktif itu pada pukul 14.00 siang?

Alternatif Penyelesaian

Diketahui Zat Mengalami Peluruhan:
$P_0=0,2$ kg
$i=10$ %
$n= 6$
Ditanya: $P=…?$
Solusi:
$$\begin{align*}P&=P_0(1-i)^n\\&=0,2\left( 1-\frac{10}{100} \right)^6\\&=0,2\left(\frac{90}{100} \right)^6\\&=0,2(0,9)^6\\P&\approx 0,106288\end{align*}$$ Jadi, sisa zat radioaktif itu pada pukul 14.00 siang adalah 0,106288 kg

3. Diketahui grafik fungsi berikut

Tentukanlah fungsi eksponen dari $f(x)$dan $g(x)$ kemudian tentukan hubungan antara kedua fungsi tersebut.

Alternatif Penyelesaian

a) Grafik $f(x)$ pada gambar diatas melalui dua titik yaitu $(0,1)$ dan $(-2,4)$, sehingga kita gunakan fungsi $f(x) = k \cdot a^x $.
Kita substitusikan kedua titik tersebut ke $f(x) = y= k \cdot a^x $.
$$\begin{align*} (x,y)=(0,1) \rightarrow y &= k \cdot a^x\\ 1 &= k \cdot a^0 \\ 1 &= k \cdot 1 \\ 1 &= k \end{align*} $$
Selanjutnya kita substitusi titik $(-2,4)$ $$\begin{align*} (x,y)=(-2,4) \rightarrow y &=k\cdot a^x\\4 &= 1\cdot a^{-2} \\2^2 &= a^{-2} \\ \frac12 &= a \end{align*}$$ Sehingga $ f(x) = a^x \rightarrow f(x) = \left( \frac12 \right)^x $.
**b)** Grafik $g(x)$ diatas melalui tiga titik yaitu $(0,5)$, $(-1,3)$ dan $(-2,2)$, sehingga kita gunakan fungsi $g(x) = k \cdot a^x+c $.
Kita substitusikan ketiga titik tersebut ke $g(x) = y= k \cdot a^x+c $.
Substitusi titik $(0,5)$ $$\begin{align*} (x,y)=(0,5) \rightarrow y &= k \cdot a^x +c\\ 5 &= k \cdot a^0 + c \\ 5 &= k + c \\ k +c &= 5 \text{ …pers(i)}\end{align*} $$ Substitusi titik $(-1,3)$ $$\begin{align*} (x,y)=(-1,3) \rightarrow y &=k\cdot a^x + c \\ 3 &= k \cdot a^{-1} + c \\ k \cdot a^{-1}+c &= 3 \text{ …pers(ii)} \end{align*}$$ Substitusi titik $(2,13)$ $$\begin{align*} (x,y)=(-2,2) \rightarrow y &=k\cdot a^x + c \\ 2 &= k \cdot a^{-2} + c \\ k \cdot a^{-2} +c &= 2 \text{ …pers(iii)} \end{align*}$$ Selanjutnya Eliminasi pers(i) dan pers(ii) : $$ \begin{array}{cc} &k\cdot a^{-1} + c &= 3 \\ &k + c &= 5 \\ \hline &k\cdot a^{-1} - k &= -2 & \end{array} $$ Kita peroleh : $ k\cdot a^{-1} - k = -2\text{ ….pers(iv)}$.
Eliminasi pers(ii) dan pers(iii) :
$$\begin{array}{cc} k\cdot a^{-2} + c &= 2 \\ k\cdot a^{-1} + c & = 3 \\ \hline k\cdot a^{-2} - k\cdot a^{-1} &= -1 \\ a^{-1}(k\cdot a^{-1} - k) &= -1 \end{array} $$
Kita peroleh : $ a^{-1}(k\cdot a^{-1} - k) = -1 \text{ ….pers(v)}$.
Dari pers(iv) dan (v),
$$\begin{align*} & a^{-1}(k\cdot a^{-1} - k) = -1\\ \Leftrightarrow & a^{-1} \times -2 = -1 \\ \Leftrightarrow & a^{-1} = \frac12 \\ \Leftrightarrow & a=2 \end{align*}$$
Substitusi $a=2$ ke Pers(iv) : $$ k\cdot a^{-1} - k = -2 \\ \Leftrightarrow \frac{1}{2}k - k = -2 \\ \Leftrightarrow -\frac{1}{2}k = -2 \\ \Leftrightarrow k=4 $$.
Substitusi $k=4$ ke Pers(i) : $$ k + c = 5 \\ \Leftrightarrow 4 + c = 5 \\ \Leftrightarrow c = 1 $$.
Sehingga fungsi $$ g(x) = k\cdot a^x + c \\ g(x)= 4 \cdot 2^x + 1 \\ g(x)= 2^2 \cdot 2^x + 1 \\ g(x)=2^{x+2} + 1 $$.
**c)** Hubungan antara fungsi f(x) dan g(x)
fungsi g(x) merupakan bayangan dari fungsi f(x) hasil transformasi pencerminan terhadap sumbu y dilanjutkan translasi sebesar $\begin{pmatrix} -2 \\ 1\end{pmatrix}$

4. Tentukan himpunan penyelesaian dari $8^{\frac13 x-4}=16$

Alternatif Penyelesaian

$$ 8^{\frac13 x-4}=16 \\ \leftrightarrow 2^{3(\frac13 x-4)}=2^4 \\ \leftrightarrow 2^{x-12}=2^4 \\ $$ maka $$ x-12 = 4 \\ \leftrightarrow x=16 $$ Jadi, himpunan penyelesaian dari $8^{\frac13 x-4}=16$ adalah $\lbrace 16 \rbrace$

5. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan eksponen $3^{x^2-7}=27^{x+111}$

Alternatif Penyelesaian

$$3^{x^2-7}=27^{x+111}\\ \leftrightarrow 3^{x^2-7}=3^{3(x+111)}\\ \leftrightarrow 3^{x^2-7}=3^{3x+333}\\ \text{ maka }\\ \leftrightarrow x^2-7=3x+333\\ \leftrightarrow x^2-3x-340=0\\ \leftrightarrow (x-20)(x+17)=0\\ \leftrightarrow x=20 \text{ atau } x=-17 $$ Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {-17,20}

6. Tentukan himpunan penyelesaian dari $9^{\frac12 x^2+x-2}=\frac{81}{32}\cdot 2^{x^2+2x-3}$

Alternatif Penyelesaian

$9^{\frac12 x^2+x-2}=\frac{81}{32}\cdot 2^{x^2+2x-3}$ (jika bilangan itu bisa dirubah ke bentuk pangkat rubahlah ke bentuk pangkat)
$$\begin{align*} 9^{\frac12 x^2+x-2}&=\frac{81}{32}\cdot 2^{x^2+2x-3}\\ 3^{2(\frac12 x^2+x-2)}&=\frac{3^4}{2^5}\cdot 2^{x^2+2x-3}\\ \frac{3^{x^2+2x-4}}{3^4}&=\frac{2^{x^2+2x-3}}{2^5}\\ 3^{x^2+2x-8}&=2^{x^2+2x-8} \end{align*}$$

Maka
$$x^2+2x-8=0 \\ (x+4)(x-2)=0 \\ x=-4 \text{ atau } x=2$$

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {-4,2}

7. Tentukan himpunan penyelesaian dari $\left( x^2-10x+24 \right)^{3x+1}=\left( x^2-10x+24 \right)^{x+2}$

Alternatif Penyelesaian

${\left( x^2-10x+24 \right)}^{2x+1}={\left( x^2-10x+24 \right)}^{x+2}$
$h(x)=x^2-10x+24 \newline f(x)=2x+1 \newline g(x)=x+2$

• Kemungkinan 1:
  $f(x)=g(x)$
  $2x+1=x+2$
  $x=1$

• Kemungkinan 2:
  $h(x)=1$
  $x^2-10x+24=1 \newline x^2-10x+23=0 $
  gunakan rumus abc $x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ untuk mencari nilai $x$
  $$\begin{align*}x_{1,2}&=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\ x_{1,2}&=\frac{-(-10)\pm\sqrt{(-10)^2-4(1)(23)}}{2(1)} \\ &=\frac{10\pm\sqrt{100-92}}{2} \\ &=\frac{10\pm\sqrt{8}}{2} \\ &=\frac{10\pm 2\sqrt{2}}{2}\\ x_{1,2}&=5\pm \sqrt{2} \end{align*}$$

• Kemungkinan 3:
  $h(x)=0$
  asal f(x) dan g(x) positif
  $x^2-10x+24=0 \newline (x-6)(x-4)=0 \newline x=6 \text{ atau } x=4 $

  Cek apakah f(x) dan g(x) positif
  untuk $x=6$
  $f(x)=2x+1 \newline f\left(6 \right)=2(6)+1=13>0$

  $g(x)=x+2 \newline g\left( 6 \right)=6+2=8>0$

  Karena $g(x)>0$ dan $f(x)>0$ (bernilai positif) maka $x=6$ memenuhi

  untuk $x=4$
  $f(x)=2x+1 \newline f\left(4 \right)=2(4)+1=9>0$

  $g(x)=x+2 \newline g\left( 4 \right)=4+2=6>0$

  Karena $g(x)>0$ dan $f(x)>0$ (bernilai positif) maka $x=4$ memenuhi

• Kemungkinan 4:
  $h(x)=-1$
  asal f(x) dan g(x) keduanya genap atau keduanya ganjil

  $x^2-10x+24=-1 \newline x^2-10x+25=0 \text{ (faktorkan)} \newline (x-5)(x-5)=0 \newline x=5 \text{ atau } x=5$

  Cek apakah f(x) dan g(x) keduanya genap atau keduanya ganjil
  $f(x)=2x+1 \newline f\left(5 \right)=2(5)+1=11\text{ (ganjil)}$

  $g(x)=x+2 \newline g\left(5 \right)=5+2=7\text{ (ganjil)}$

  Karena f(x) dan g(x) keduanya ganjil maka $x=5$ memenuhi

Jadi, himpunan penyelesainnya adalah $\lbrace 1,5- \sqrt{2},4,5,5+ \sqrt{2},6 \rbrace$

8. Tentukan himpunan penyelesaian dari $2^{x+2}-4^{x+1}=-960$

Alternatif Penyelesaian

$$\begin{align*} & 2^{x+2}-4^{x+1}=-960 \\ & 2^x\cdot 2^2-2^{2(x+1)}+960=0 \\ & 4\cdot 2^x -2^{2x}\cdot2^2+960=0 \\ & 4\cdot 2^x -4\cdot {(2^x)^2}+960=0 \text{ (bagi -4)}\\ & -2^x +(2^x)^2-240=0 \\ & (2^x)^2 -2^x -240=0 \\ \end{align*}$$ Misalkan $2^x=p$, maka $$\begin{align*}& p^2-p-240=0 \\ & (p-16)(p+15)=0 \\ &p=16\text{ atau }p=-15 \end{align*}$$ Untuk $p=16\Rightarrow 2^x=16$ $$\begin{align*}& 2^x=16 \\ &2^x=2^4 \\ &x=4 \end{align*}$$ Untuk $p=-15\Rightarrow 2^x=-15$ tidak mungkin karena bilangan positif dipangkatkan berapapun hasilnya juga positif
Jadi, himpunan penyelesainnya adalah {4}.

Demikian, beberapa soal tentang Eksponen. Semoga PTSnya berjalan lancar dan mendapat nilai yang maksimal ya..

Semua terasa mudah jika kita terbiasa dan banyak berlatih..