Luas Segitiga Dengan Aturan Trigonometri

Luas segitiga dapat dihitung dengan rumus luas alas dikali tinggi dibagi dua selain itu juga dapat menggunakan aturan trigonometri

Luas segitiga yang kita pahami sebelumnya dihitung dengan rumus luas alas dikali tinggi dibagi dua atau bisa dituliskan $$L\triangle=\frac12\times a \times t$$

Selain menggunakan rumus di atas, luas segitiga tersebut juga dapat diperoleh dengan menggunakan rumus aturan trigonometri lho. Tapi sebelumnya silahkan pelajari Perbandingan Trigonometri Pada Segitiga Siku-Siku↝ , Perbandingan Trigonometri Sudut Istimewa↝ , dan juga Aturan Sinus dan Cosinus↝ agar lebih paham tentang trigonometri.

Luas Segitiga dengan Aturan Trigonometri

1. Luas Segitiga jika diketahui dua sisi dan satu sudut

Perhatikan segitiga ABC berikut dengan diberikan sudut dan sisi-sisinya !

Luas segitiga ABC adalah : $$\begin{align} L \triangle ABC &= \frac12 \times \text{alas} \times \text{tinggi}\nonumber\\ &= \frac12 \times c \times t \end{align}$$ Perhatikan bahwa segitiga ADC, dengan perbandingan trigonometri diperoleh $$\sin\alpha=\frac{t}{b}$$ atau $$\begin{align}t=b\sin\alpha\end{align}$$ Dari pers (1) dan pers (2), maka $$\begin{align}L \triangle ABC &= \frac12\times c \times t\nonumber\\ &= \frac12 \times c \times b \sin\alpha \nonumber\\ L \triangle ABC &= \frac{1}{2}bc\sin\alpha \end{align}$$ Dengan cara yang sama, untuk setiap segitiga ABC juga berlaku:

$$\begin{align*} L \triangle ABC &= \frac{1}{2}bc\sin\alpha \\ L \triangle ABC &= \frac{1}{2}ac\sin\beta \\ L \triangle ABC &= \frac{1}{2}ab\sin\gamma \end{align*}$$

Contoh Soal

Tentukan luas segitiga ABC jika diketahui sisi $BC=4$ cm, $AC=7\sqrt3$ cm dan $\angle C=60\degree$.

Alternatif Penyelesaian ✍️

$BC=4$ cm, $AC=7\sqrt3$ cm dan $\angle C=60\degree$

Dengan menggunukan rumus luas segitiga aturan trigonometri $$\begin{align*}L \triangle ABC &= \frac{1}{2}BC.AC.\sin C \\ &= \frac{1}{2}(4)(7\sqrt3)\sin 60\degree \\ &= \frac{1}{2}(4)(7\sqrt3)\frac12\sqrt3 \\ &= \frac{1}{4}(4)(7\sqrt3)(\sqrt3) \\ &= (7)(3) \\&= 21 \end{align*}$$ Jadi, luas segitiga ABC adalah $21 \text{ cm}^2$.

2. Luas Segitiga jika diketahui ketiga sisinya

Untuk menghitung luas segitiga yang diketahui ketiga sisinya, rumusnya disebut rumus Heron. Perhatikan segitiga berikut. Luas segitiga ABC adalah $$L = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$$ dengan $s = \dfrac{1}{2}(a+b+c)$ atau $s = \dfrac{1}{2} \times \text{ (keliling segitiga ABC)}$

Pembuktian rumus Heron

• Pada segitiga ABC berlaku aturan Cosinus sudut A $$\begin{align*}a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A \\ \rightarrow \cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2 }{2bc}\tag{1} \end{align*}$$
• Identitas Trigonometri : $$\sin ^2 A + \cos ^2 A = 1 \\ \rightarrow \sin ^2 A = 1 - \cos ^2 A \\ \rightarrow \sin ^2 A = (1-\cos A)(1+\cos A) \tag{2}$$
• Substitusikan pers (1) ke pers (2)

$$\begin{align*}\sin ^2 A &= 1 - \cos ^2 A \\\sin ^2 A &= (1 - \cos A )(1 + \cos A )\\ &= \left(1 - \frac{b^2 + c^2 - a^2 }{2bc} \right) \left(1 + \frac{b^2 + c^2 - a^2 }{2bc} \right)\\ &= \left( \frac{2bc - b^2 - c^2 + a^2 }{2bc} \right) \left( \frac{2bc + b^2 + c^2 - a^2 }{2bc} \right)\\ &= \left( \frac{-(b-c)^2 + a^2 }{2bc} \right) \left( \frac{(b+c)^2- a^2}{2bc} \right)\\ &= \left( \frac{ a^2 -(b-c)^2 }{2bc} \right) \left( \frac{(b+c)^2- a^2 }{2bc} \right)\\ &= \left( \frac{ (a-b+c)(a+b-c) }{2bc} \right) \left( \frac{(b+c-a)(b+c+a) }{2bc} \right)\\ \sin ^2 A &= \frac{ (a-b+c)(a+b-c)(b+c-a)(b+c+a) }{(2bc)(2bc)} \\ \sin A &= \sqrt{ \frac{ (a-b+c)(a+b-c)(b+c-a)(b+c+a) }{(2bc)(2bc)} } \\ \sin A &= \frac{1}{2bc}\sqrt{ (a-b+c)(a+b-c)(b+c-a)(b+c+a) } \end{align*}$$

• misalkan : $s = \frac{1}{2}(a+b+c)$ oleh karena itu

  • $2s=a+b+c$
  • $b+c-a=(a+b+c)-2a=2s-2a=2(s-a)$
  • $a+c-b=(a+b+c)-2b=2s-2b=2(s-b)$
  • $a+b-c=(a+b+c)-2c=2s-2c=2(s-c)$

  sehingga diperoleh $$\begin{align*} \sin A &= \frac{1}{2bc}\sqrt{ (a-b+c)(a+b-c)(b+c-a)(b+c+a) }\\ &= \frac{1}{2bc}\sqrt{ 2s\cdot2(s-a)\cdot2(s-b)\cdot2(s-c) }\\ A &= \frac{1}{2bc}\sqrt{ 16s(s-a)(s-b)(s-c) }\\ A &= \frac{4}{2bc}\sqrt{ s(s-a)(s-b)(s-c) }\\ \sin A &= \frac{2}{bc}\sqrt{ s(s-a)(s-b)(s-c) } \end{align*}$$

• Luas segitiga ABC menggunakan sudut A : $$\begin{align*}L &= \frac{1}{2}.AB.AC. \sin A\\ &= \frac{1}{2}.c.b. \frac{2}{bc}\sqrt{ s (s-a)(s-b)(s-c) }\\ &= \sqrt{ s (s-a)(s-b)(s-c) } \end{align*}$$ Jadi, terbukti luas segitiganya.

Contoh Soal

Tentukan luas segitiga ABC jika diketahui sisi $a=13$ cm, $b=14$ cm dan $c=15$ cm.

Alternatif Penyelesaian ✍️

$$\begin{align*}s&=\frac12(a+b+c)\\ &=\frac12(13+14+15) \\ &= 21 \end{align*}$$ Gunakan rumus luas segitiga jika kegita sisi diketahui $$\begin{align*}L\triangle ABC &= \sqrt{ s (s-a)(s-b)(s-c) } \\ &= \sqrt{ 21 (21-13)(21-14)(21-15) } \\ &= \sqrt{ 21 (8)(7)(6) } \\ &= \sqrt{ 7056 } \\ &= 84 \end{align*}$$

Jadi, luas segitiga ABC adalah $84 \text{ cm}^2$.