Pelajari konsep transpose dan kesamaan matriks secara mudah dan lengkap. Temukan contoh soal dan pembahasan lengkap untuk membantu kamu menguasai materi matematika kelas 11

Matriks adalah susunan bilangan yang diatur dalam baris dan kolom. Operasi-operasi pada matriks, seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan lain-lain, memiliki aturan-aturan khusus.

Sebelumnya kita sudah belajar tentang konsep dan jenis matriks↝ . kali ini Dua kita membahas transpose dan kesamaan matriks.

1. Transpose Matriks (Matriks Transpose)

Transpose dari suatu matriks $A$ berordo $m \times n$ adalah sebuah matriks baru yang berordo $n \times m$ yang diperoleh dengan cara menukar elemen-elemen baris menjadi elemen-elemen kolom dan sebaliknya.

Transpose suatu matriks $A$ dinotasikan dengan $𝐴^T$

Agar lebih jelasnya, perhatikan gambar di bawah ini: Tranpose Matriks Contoh:

Jika $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{bmatrix}$, maka $A^T = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 5 \\ 2 & 4 & 6 \end{bmatrix}$.

Sifat-sifat Transpose Matriks:

  • $(A^T)^T = A$
  • $(A + B)^T = A^T + B^T$
  • $(kA)^T = kA^T$, dengan $k$ adalah konstanta
  • $(AB)^T = B^TA^T$

2. Kesamaan Dua Matriks

Definisi

Dua buah matriks $A$ dan $B$ dikatakan sama jika dan hanya jika:

  1. Ordo matriks $A$ dan $B$ sama.
  2. Elemen-elemen yang seletak pada matriks $A$ dan $B$ sama.

Contoh:

Matriks $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$ dan $B = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$ adalah matriks yang sama.

Contoh Soal

  1. Diketahui matriks $P = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$ dan $Q = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -3 & 4 \end{bmatrix}$. Tentukan:

    1. $P^T$
    2. $Q^T$
    3. $(P + Q)^T$
    4. Apakah $P$ sama dengan $Q$?

  2. Jika $A$ adalah matriks berordo $3 \times 2$, tentukan ordo dari $A^T$.

Penyelesaian Soal

  1. Diketahui matriks:

    • $P = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$
    • $Q = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -3 & 4 \end{bmatrix}$

    Ditanya:

    1. $P^T$
    2. $Q^T$
    3. $(P + Q)^T$
    4. Apakah $P$ sama dengan $Q$?

    Alternatif Penyelesaian ✍️

    1. Mencari $P^T$ dan $Q^T$

      Untuk mencari transpose, kita tukar baris menjadi kolom dan sebaliknya.

      • $P^T = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ -1 & 4 \end{bmatrix}$
      • $Q^T = \begin{bmatrix} 1 & -3 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}$

    2. Mencari $(P + Q)^T$

      Pertama, kita jumlahkan matriks $P$ dan $Q$:

      $P + Q = \begin{bmatrix} 2+1 & -1+2 \\ 3-3 & 4+4\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 8 \end{bmatrix}$

      Kemudian, kita cari transpose dari hasil penjumlahan:

      $(P + Q)^T = \begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 1 & 8 \end{bmatrix}$

    3. Memeriksa apakah $P$ sama dengan $Q$

      Untuk dua matriks dikatakan sama jika ordo dan elemen-elemen yang seletak sama. Kita lihat bahwa matriks $P$ dan $Q$ memiliki ordo yang sama, yaitu $2 \times 2$. Namun, elemen-elemennya tidak semua sama. Jadi, $P$ tidak sama dengan $Q$.

  2. Jika $A$ adalah matriks berordo $3 \times 2$, tentukan ordo dari $A^T$.

    Alternatif Penyelesaian ✍️

    Jika matriks $A$ memiliki 3 baris dan 2 kolom, maka ketika ditranspose, baris dan kolomnya akan bertukar. Jadi, matriks $A^T$ akan memiliki 2 baris dan 3 kolom.

    Jadi, ordo dari $A^T$ adalah $2 \times 3$.

Latihan Soal Tambahan

  1. Diketahui matriks:

    • $A = \begin{bmatrix} 1 & -2 & 3 \\
      4 & 0 & -5 \end{bmatrix}$
    • $B = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\
      -1 & 3 \\
      0 & 2 \end{bmatrix}$

    Tentukan:

    • $A^T$
    • $B^T$
    • $(A + B)^T$ (catatan: operasi penjumlahan A + B tidak dapat dilakukan karena ordo matriks berbeda)
    • $(AB)^T$ (jika perkalian matriks AB dapat dilakukan)

  2. Diketahui matriks $C = \begin{bmatrix} x & 2 \\ 3 & y \end{bmatrix}$ dan $D = \begin{bmatrix}4 & 2 \\3 & 1 \end{bmatrix}$. Jika $C = D^T$, tentukan nilai $x$ dan $y$.

  3. Buktikan bahwa untuk setiap matriks persegi $A$, berlaku $(A^T)^T = A$.

  4. Diketahui matriks $E = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$. Jika $E^T = E$, matriks seperti apa yang disebut matriks simetri? Berikan contoh matriks simetri berordo $3 \times 3$.

  5. Diketahui matriks $F = \begin{bmatrix}a & b \\-b & a\end{bmatrix}$. Jika $F^T = -F$, matriks seperti apa yang disebut matriks skew-simetri? Berikan contoh matriks skew-simetri berordo $2 \times 2$.