Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV) merupakan materi Matematika yang kamu pelajari di kelas 10 atau fase E di kurikulum merdeka. Cari tahu pengertian, bentuk, rumus, dan cara penyelesaiannya di artikel ini.
Pernahkah kamu diminta Ibumu belanja? misalkan kamu diminta untuk membeli teh, gula, dan kopi. Ketika kamu kembali ke rumah, pernah gak ibumu nanya berapa harga tehnya, harga gula, dan harga kopi? padahal kamu gak ngeh ketika kamu tadi belanja. Kamu hanya langsung bayar totalan aja tuh sama penjualnya. Sehingga kamu harus ngitung ketika kamu ditanya ibumu.
Nah, contoh untuk menghitung harga dari contoh permaslahan diatas kamu dapat menggunakan Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV). Karena, contoh di atas mengandung tiga variabel yang bisa diselesaikan menggunakan persamaan linear.
Yuk kita bahas terlebih dahulu tentang Persamaan Linear Tiga Variabel
Pengertian Sistem Persamaan Linear
Sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV) merupakan sistem persamaan yang disusun oleh tiga persamaan linear dengan tiga variabel yang sama. Seperti halnya sistem persamaan linear satu variabel dan dua variabel yang telah kamu pelajari sebelumnya, sistem persamaan linear tiga variabel juga dapat diaplikasikan dalam kehidupan sehari-hari. SPLTV dapat dimanfaatkan untuk menyelesaikan berbagai masalah kontekstual yang berkaitan dengan permodelan secara matematis.
Perhatikan cerita pedagang toko kelontong berikut.
Seorang pedagang toko kelontong hendak memenuhi persediaan barang di kiosnya. Berdasarkan penjualan sehari-hari ada tiga jenis buah yang banyak dicari oleh pembeli, yaitu beras, gula, dan minyak goreng. Namun karena keterbatasan modal dia tidak dapat membeli barang-barang yang banyak diminati pelanggan tersebut sekaligus. Oleh karenanya pedagang tersebut hanya dapat membeli jika modal sudah terkumpul.
- Hari pertama modal yang terkumpul adalah Rp 1.200.000,00 sehingga pedagang tersebut dapat membeli 30 kg beras, 20 kg gula, dan 30 liter minyak goreng.
- Untuk hari kedua pedagang tersebut memperoleh modal Rp 1.050.000,00 dan dapat membeli 40 kg beras, 30 kg gula, dan 10 liter minyak goreng.
- Sedangkan untuk hari ketiga dengan modal Rp 1.400.000,00 pedagang tersebut dapat membeli 20 kg beras, 40 kg gula, dan 30 liter minyak goreng.
Jika variabel x menunjukkan harga per kg beras, variabel y menunjukkan harga per kg gula dan variabel z menunjukkan harga liter minyak goreng. Bagaimana persamaan matematis yang dapat kamu bentuk dari permasalahan ini?
Untuk menyelesaikan masalah kontekstual di atas, variabel x, y dan z sudah menunjukkan harga satuan barang masing-masing. Jika diuraikan:
- x = harga per kg beras
- y = harga per kg gula
- z = harga liter minyak goreng
Maka, dapat dibuat persamaan matematis
| Hari | Bentuk Persamaan | persamaan ke |
|---|---|---|
| Hari pertama | 30x + 20y +30z = 1200000 | persamaan (1) |
| Hari kedua | 40x + 30y +10z = 1050000 | persamaan (2) |
| Hari Ketiga | 20x + 40y +30y = 1400000 | persamaan (3) |
Ketiga persamaan tersebut adalah persamaan matematis yang dapat terbentuk dari permasalahan pedagang buah di atas. Dari ilustrasi tersebut dapat dibuat sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV). $$ \begin{cases} 30x+20y+30z = 1200000 \\ 40x+30y+10z = 1050000 \\ 20x+40y+30z = 1400000 \\ \end{cases} $$
Bentuk diatas merupakan bentuk sistem persamaan linear tiga variabel. Sistem persamaan linear tiga variabel adalah sebuah konsep dalam ilmu matematika yang digunakan untuk menyelesaikan kasus yang tidak dapat di selesaikan mengunakan persamaan linear satu variabel dan persamaan linear dua variabel. Sistem persamaan linear tia variabel ini terdiri dari beberapa persamaan linear tiga variabel. Dari beberapa persamaan linear ini membentuk suatu sistem yang dapat kamu cari nilai dari variabelnya.
Bentuk umum dari persamaan linear tiga variabel adalah sebagai berikut. $$ a_1 x + b_1 y + c_1 y = d_1 $$
Sedangkan bentuk umum dari SPLTV adalah sebagai berikut. $$ \begin{cases} a_1x+b_1y+c_1z = d_1 \\ a_2x+b_2y+c_2z = d_2 \\ a_3x+b_3y+c_3z = d_3 \\ \end{cases} $$
Keterangan:
- Variabel adalah $x, y$ dan $z$
- Koefisien adalah $a_1, a_2, a_3, b_1, b_2, b_3, c_1, c_2, c_3$
- konstanta adalah $d_1, d_2, d_3$
Menyusun Model Matematika berbentuk SPLTV
Untuk menyelesaikan masalah kontekstual atau soal cerita mala perlu dirubah ke dalam bentuk atau model matematika, berikut adalah beberapa langkah dalam menyusun model matematika yang berbentuk SPLTV adalah sebagai berikut.
- Menyatakan atau menerjemahkan masalah ke dalam bahasa yang mudah dipahami. Ini adalah problem real.
- Mengidentifikasi berbagai konsep matematika dan asumsi yang digunakan dan berkaitan dengan masalah. Ini adalah problem matematika.
- Merumuskan model matematika atau kalimat matematika yang berkaitan dengan masalah. Ini adalah proses matematisasi.
- Merumuskan SPLTV yang merupakan model matematika dari masalah tersebut.
Contoh
Andi, Tono, dan Maman pergi ke warung makan. Andi membeli sepiring nasi, sepotong ayam goreng dan segelas es jeruk dengan harga total Rp 16.000. Tono membeli sepiring nasi, dua potong ayam goreng dan segelas es jeruk dengan harga total Rp 23.000, Maman membeli 2 piring nasi dan 3 potong ayam goreng dengan harga total Rp 29.000. Buatlah sistem persamaan linear tiga variabel dari informasi tersebut!
Alternatif Penyelesaian ✍️
Permasalahan di atas adalah harga makanan (dalam rupiah) dari nasi, ayam goreng, dan es jeruk. (Ini adalah problem real).
Untuk menyederhanakan dan memudahkan langkah-langkah penyelesaiannya, maka digunakan permisalan. (Ini adalah problem matematika).
misalkan :
p = harga sepiring nasi
q = harga sepotong ayam goreng
r = harga segelas es jeruk
Persamaan matematikanya menjadi (Ini adalah proses matematisasi):
$p+q+r=16.000$ …. Persamaan (1)
$p+2q+r=23.000$ …. Persamaan (2)
$2p+3q=29.0000$ …. Persamaan (3)SPLTV nya adalah sebagai berikut: $$ \begin{cases} p+q+r &= 16000 \\ p+2q+r &= 23000 \\ 2p+q &= 29000 \\ \end{cases} $$
Selanjutnya bagaimana menyelesaikan sistem persamaan linear tiga variabel, baca artikel selanjutnya ya…