Menentukan Nilai Perbandingan Trigonometri Sinus, Cosinus, Tangen Di Kuadran I, Kuadran II, Kuadran III, kuadran IV

Kali ini kita akan membahas tentang erbandingan Trigonometri Di Berbagai Kuadran. Sebelumnya Kita telah belajar tentang menentukan nilai perbandingan trigonometri dari sudut lancip pada segitiga siku-siku. Baca Perbandingan Trigonometri pada Segitiga Siku-Siku↝ dan Perbandingan Trigonometri Sudut Istimewa↝ . Konsep ini dapat diperluas untuk berbagai besar sudut. Tentunya nilai dan tanda pada setiap sudut ini berbeda. ada yang positif dan ada yang negatif.

Pada jenjang SMP kita sudah mengenal tentang koordinat kartesius. Sumbu – sumbu pada koordinat membagi bidang koordinat menjadi empat daerah yang disebut sebagai kuadran. Berdasarkan itu maka sudut dalam sebuah koordinat Cartesius dapat dibagi menjadi 4 daerah yang terbagi atas kuadran I, kuadran II, kuadran III, dan kuadran IV. Nah selanjutnya mari kita bahas nilai perbandingan trigonometri di berbagai kuadran.

Nilai Perbandingan Trigonometri di Berbagai Kuadran

Kita ketahui bahwa dalam satu putaran besar sudutnya adalah 360∘360^\circ. Sebagai sudut putar, sudut dikelompokkan menjadi empat wilayah atau kuadran didasarkan pada besarnya sudut, yaitu:

  1. Kuadran I : dengan sudut 0∘ 0^\circ sampai 90∘ 90^\circ atau 0<x<π2 0 < x < \frac{\pi}{2}
  2. Kuadran II : dengan sudut 90∘ 90^\circ sampai 180∘ 180^\circ atau π2<x<π \frac{\pi}{2} < x < \pi
  3. Kuadran III : dengan sudut 180∘ 180^\circ sampai 270∘ 270^\circ atau π<x<3π2 \pi < x < \frac{3\pi}{2}
  4. Kuadran IV : dengan sudut 270∘ 270^\circ sampai 360∘ 360^\circ atau 3π2<x<2π \frac{3\pi}{2} < x < 2\pi

dengan nilai π=180∘ \pi = 180^\circ untuk sudut. Selain sudut pada berbagai kuadran, terdapat pula sudut yang besarnya lebih besar dari 360∘360^\circ dan juga sudut negatif.

Nilai perbandingan trigonometrinya seperti gambar berikut ini. Nilai Perbandingan Trigonometri di Berbagai Kuadran

Dari gambar di atas diperoleh,

  1. Kuadran I, semua nilai perbandingan trigonometri bernilai positif (sin, cos, tan, sec, csc, cot)
  2. Kuadran II, nilai sin positif (begitu juga csc) yang lainnya bernilai negatif (cos, tan, sec, cot)
  3. Kuadran III, nilai tan positif (begitu juga cot) yang lainnya bernilai negatif (sin, cos, sec, csc)
  4. Kuadran IV, nilai cos positif (begitu juga sec) yang lainnya bernilai negatif (sin, tan, csc, cot).

Untuk memudahkan mengingat, gunakan kata “SEMUA SINdikat TANgan KOSong”.

Contoh Soal

  1. Diketahui titik B(4,-3) jika ∠XOB=θ\angle XOB=\theta tentukan nilai dari sin⁡θ,cos⁡θ,tan⁡θ\sin \theta, \cos\theta, \tan\theta !

    Alternatif Penyelesaian ✍️

    dengan menggambar titik B pada koordinat cartesius, jelas bahwa titik B berada pada kuadran IV. Nilai Trigonometri Kuadran IV

    Dari gambar diperoleh XB atau panjang sisi depan adalah y=3y=3, dan OX atau panjang sisi samping adalah x=4x=4. Selanjutnya kita cari panjang OB atau sisi miring dengan menggunakan pythagoras. OB=x2+y2=42+32=16+9=25OB=5\begin{align*} OB&=\sqrt{x^2+y^2}\\ &=\sqrt{4^2+3^2}\\ &=\sqrt{16+9}\\ &=\sqrt{25}\\ OB&=5 \end{align*} Diperoleh panjang sisi miring atau OB=5.

    • Menentukan nilai perbandingan trigonometri sin⁡θ=demi=−35=−35cos⁡θ=sami=45tan⁡θ=desa=−34=−34\begin{align*}\sin \theta & = \frac{de}{mi} = \frac{-3}{5}=-\frac{3}{5} \\\cos \theta & = \frac{sa}{mi} = \frac{4}{5} \\\tan \theta & = \frac{de}{sa} = \frac{-3}{4} = - \frac{3}{4} \end{align*}

    Catatan: di kuadran IV, cos bernilai (+), sedangkan sin dan tan bernilai (-)

  2. Diketahui nilai cos⁡α=−817 \cos \alpha = -\dfrac{8}{17} dengan α \alpha di kuadran II. Tentukan nilai sin⁡α, \sin \alpha , dan nilai tan⁡α \tan \alpha ?

    Alternatif Penyelesaian ✍️

    • Gambar segitiga siku-siku untuk memudahkan.
      nilai cos⁡α=−817→sami=−817, \cos \alpha = -\dfrac{8}{17} \rightarrow \dfrac{sa}{mi} = \dfrac{-8}{17}, artinya sisi samping 8 (abaikan sementara tanda -) dan sisi miring 17, sehingga cari dulu sisi depan dengan teorema pythagoras. misalkan sisi depan yy maka y=172−82=289−64=225=15y=\sqrt{17^2-8^2}=\sqrt{289-64}=\sqrt{225}=15 diperoleh sisi depan 15. Nilai Trigonometri Kuadran II
    • Karena α \alpha di kuadran II, maka nilai sin positif dan tan negatif. sin⁡α=demi=1517tan⁡α=desa=−158 \begin{align*} \sin \alpha &= \frac{de}{mi} = \frac{15}{17} \\ \tan \alpha &= \frac{de}{sa} = - \frac{15}{8} \end{align*}

    Jadi, diperoleh sin⁡α=1517, \sin \alpha = \frac{15}{17} , dan tan⁡α=−158 \tan \alpha = - \frac{15}{8} .