Operasi Perkalian Matriks Serta Contohnya | Matematika Kelas XI Fase F

Pelajari cara mudah melakukan operasi perkalian matriks. Lengkap dengan contoh soal dan penjelasan langkah demi langkah. Kurikulum Merdeka Fase F

Perkalian matriks adalah salah satu operasi dasar dalam aljabar yang kamu pelajari di kelas XI Fase F Kurikulum Merdeka. Operasi ini memiliki dua jenis utama, yaitu perkalian skalar dengan matriks dan perkalian matriks dengan matriks. Masing-masing jenis perkalian memiliki aturan dan sifat yang berbeda.

Sobat Belajar!. Sebelum lanjut, pastikan kamu sudah memahami dan mempelajari Konsep Matriks dan Jenis Matriks↝ , Tranpose dan Kesamaan Matriks↝ serta Operasi Penjumlahan dan Pengurangan Matriks↝ .

Perkalian Skalar dengan Matriks

Perkalian skalar dengan matriks adalah operasi mengalikan setiap elemen dalam sebuah matriks dengan sebuah konstanta (skalar).

Definisi:

Misalkan A adalah sebuah matriks berukuran m x n dan k adalah sebuah skalar. Maka perkalian skalar k dengan matriks A dinotasikan dengan cA dan didefinisikan sebagai:

$$kA = \begin{bmatrix}k.a_{11} & k.a_{12} & \cdots & k.a_{1n}\\ k.a_{21} & k.a_{22} & \cdots & k.a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ k.a_{m1} & k.a_{m2} & \cdots & k.a_{mn} \end{bmatrix}$$

Contoh:

Diketahui matriks $A = \begin{bmatrix} 2 & -1\\ 3 & 4 \end{bmatrix}$. Hitunglah hasil dari $3A$!

Alternatif Penyelesaian ✍️

perkalian skalar 3 dengan matriks A adalah: $$\begin{align*}3A &= 3 \begin{bmatrix}2 & -1\\3 & 4\end{bmatrix}\\&= \begin{bmatrix}3\times 2 & 3\times -1\\3\times3 & 3\times 4\end{bmatrix}\\&= \begin{bmatrix}6 & -3\\9 & 12\end{bmatrix}\end{align*}$$

Perkalian Matriks dengan Matriks

Perkalian matriks dengan matriks memiliki syarat khusus, yaitu jumlah kolom matriks pertama harus sama dengan jumlah baris matriks kedua.

Definisi:

Misalkan A adalah sebuah matriks berukuran m x n dan B adalah sebuah matriks berukuran n x p. Maka perkalian matriks A dengan matriks B dinotasikan dengan AB dan didefinisikan sebagai:

$$(AB)_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik}b_{kj}$$

di mana:

• $(AB)_{ij}$ adalah elemen pada baris ke-i dan kolom ke-j dari matriks hasil perkalian
• *$a_{ik}$* adalah elemen pada baris ke-i dan kolom ke-k dari matriks A
• *$b_{kj}$* adalah elemen pada baris ke-k dan kolom ke-j dari matriks B

Catatan Perkalian dua matriks dilakukan dengan mengalikan tiap baris matriks pertama dengan tiap kolom matriks kedua, kemudian dijumlahkan pada baris yang sama.

Contoh:

Diketahui matriks $A = \begin{bmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} -1 & 0\\ 2 & 1 \end{bmatrix}$. Tentukan hasil dari perkalian matriks $A\times B$!

Alternatif Penyelesaian ✍️

perkalian matriks A dengan matriks B adalah:

$$\begin{align*}AB &= \begin{bmatrix} \color{red}{1} & \color{red}{2}\\ \color{blue}{3} & \color{blue}{4} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \color{purple}{-1} & \color{purple}{0}\\ \color{green}{2} & \color{green}{1} \end{bmatrix}\\ &= \begin{bmatrix} \color{red}{1} \color{black}{\times} \color{purple}{(-1)} \color{black}{+}\color{red}{2}{\times} \color{green}{2} & \color{red}{1} \color{black}{\times} \color{purple}{0} \color{black}{+}\color{red}{2}{\times} \color{green}{1}\\ \color{blue}{3}\color{black}{\times} \color{purple}{(-1)} \color{black}{+}\color{blue}{4}{\times} \color{green}{2} & \color{blue}{3} \color{black}{\times} \color{purple}{0} \color{black}{+}\color{blue}{4}{\times} \color{green}{1} \end{bmatrix}\\&= \begin{bmatrix} -1+4 & 0+2\\ -3+8 & 0+4 \end{bmatrix}\\ &= \begin{bmatrix} 3 & 2\\ 5 & 4 \end{bmatrix} \end{align*}$$

Sifat-Sifat Perkalian Matriks

Perkalian matriks memiliki beberapa sifat yang perlu diperhatikan, namun tidak semua sifat perkalian bilangan real berlaku pada perkalian matriks. Berikut adalah beberapa sifat penting dari perkalian matriks:

Sifat yang Berlaku

• Distributif terhadap Penjumlahan:

  • $A(B + C) = AB + AC$
  • $(A + B)C = AC + BC$

• Asosiatif:

  • $(AB)C = A(BC)$

• Identitas:

  • $AI = IA = A$, di mana $I$ adalah matriks identitas.

• Perkalian dengan Skalar:

  • $c(AB) = (cA)B = A(cB)$, di mana $c$ adalah skalar.

Sifat yang Tidak Berlaku

• Komutatif:
  • $AB ≠ BA$ secara umum. Artinya, urutan perkalian matriks sangat penting dan dapat menghasilkan hasil yang berbeda.

Contoh Soal Perkalian Matriks

Contoh Soal 1: Perkalian Sederhana

Diketahui matriks A dan B sebagai berikut:

$A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\-1 & 3\end{bmatrix}, B = \begin{bmatrix}4 & 0\\2 & -1\end{bmatrix}$

Tentukan hasil perkalian AB.

Alternatif Penyelesaian ✍️

$$\begin{align*} AB &= \begin{bmatrix} 2 & 1\\ -1 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 4 & 0\\ 2 & -1 \end{bmatrix}\\ &= \begin{bmatrix} (2\cdot4)+(1\cdot2) & (2\cdot0)+(1\cdot-1)\\ (-1\cdot4)+(3\cdot2) & (-1\cdot0)+(3\cdot-1) \end{bmatrix}\\ &= \begin{bmatrix} 10 & -1\\ 2 & -3 \end{bmatrix} \end{align*}$$

Contoh Soal 2: Perkalian dengan Matriks Identitas

Diketahui matriks C sebagai berikut:

$$C = \begin{bmatrix} 3 & -2\\ 1 & 5 \end{bmatrix}$$

Tentukan hasil perkalian $C\cdot I$, di mana I adalah matriks identitas berordo 2x2.

Alternatif Penyelesaian ✍️

Matriks identitas berordo 2x2 adalah:

$$I = \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix}$$

Maka,

$$\begin{align*} C \cdot I &= \begin{bmatrix} 3 & -2\\ 1 & 5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 3 & -2\\ 1 & 5 \end{bmatrix} \end{align*}$$

Contoh Soal 3: Perkalian dengan Skalar

Diketahui matriks $D = \begin{bmatrix} -1 & 2\\ 4 & 0 \end{bmatrix}$. Tentukan hasil dari 3D.

Alternatif Penyelesaian ✍️

Untuk mengalikan matriks dengan skalar, kita kalikan setiap elemen matriks dengan skalar tersebut:

$$3D = 3 \begin{bmatrix} -1 & 2\\ 4 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -3 & 6\\ 12 & 0 \end{bmatrix}$$

Contoh Soal 4: Soal Aplikasi

Sebuah toko menjual dua jenis barang, A dan B. Keuntungan per unit barang A adalah Rp 5.000,00 dan barang B adalah Rp 8.000,00. Pada minggu pertama, toko tersebut menjual 100 unit barang A dan 150 unit barang B. Pada minggu kedua, toko menjual 120 unit barang A dan 180 unit barang B.

a. Nyatakan penjualan pada kedua minggu tersebut dalam bentuk matriks. b. Hitunglah total keuntungan pada masing-masing minggu.

Pembahasan:

a. Matriks penjualan:

$$\text{Minggu 1} = \begin{bmatrix} 100\\ 150 \end{bmatrix}, \quad \text{Minggu 2} = \begin{bmatrix} 120\\ 180 \end{bmatrix}$$

Matriks harga per unit:

$$\text{Harga} = \begin{bmatrix} 5000 & 8000 \end{bmatrix}$$

b. Total keuntungan:

• Minggu 1: $$\begin{align*}\text{Keuntungan Minggu 1} &= \begin{bmatrix} 5000 & 8000 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 100\\ 150 \end{bmatrix} \\&= Rp 1.700.000 \end{align*}$$
• Minggu 2: $$\begin{align*} \text{Keuntungan Minggu 2} &= \begin{bmatrix}5000 & 8000 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 120\\ 180 \end{bmatrix}\\ &= Rp 2.040.000 \end{align*}$$