Polinomial atau suku banyak adalah bentuk aljabar terdiri suku-suku dan memuat satu variabel pangkat bulat positif. Operasi penjumlahan dll
Polinomial atau suku banyak adalah suatu bentuk aljabar yang terdiri atas beberapa suku dan memuat satu variabel berpangkat bulat positif. Operasinya penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian.
Halo semuanya … Pada artikel kali ini kita akan belajar tentang polinomial atau suku banyak. Materi ini merupakan materi bagian 1 kita akan membahas tentang pengertian dan operasi aljabar suku banyak terutama tentang penjumlahan, pengurangan, perkalian dan kesamaan polinomial. Langsung saja yuuk kita cermati pembahasannya. Kita mulai dari pengertian polinomial atau suku banyak
Pengertian Suku Banyak
Suku banyak adalah suatu bentuk yang memuat variabel berpangkat yang terdiri dari suku-suku. Suku banyak dalam $ x $ berderajat $ n $ dinyatakan dengan: $$\begin{align*} a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1}+ a_{n-2}x^{n-2} + … + a_1x + a_0. \end{align*}$$
Keterangan :
- $ n =$ derajat suku banyak dengan $ n*$ adalah bilangan cacah ,
- $ a_n, a_{n-1},…,a_1$ adalah *koefisien* suku banyak dengan $a_n \neq 0 $ ,
- $ a_nx^n$ adalah suku pertama ,
- $ a_{n-1}x^{n-1}$ adalah suku kedua , dan seterusnya.
- $ a_0 $ adalah suku tetap
Contoh soal suku banyak : Dari bentuk suku banyak berikut ini, tentukan derajatnya, suku dan koefisiennya, dan suku tetapnya.
- $ 2x^3 - 5x^2 + x - 7 $
- $ 7x^9 + 2x^3 - 3x + 2 $
Penyelesaian :
$ 2x^3 - 5x^2 + x - 7 $
Bentuk $ 2x^3 - 5x^2 + x - 7 *$ berderajat 3 (pangkat tertingginya).
Suku-suku dan koefisiennya :
Suku pertama : $ 2x^3$ , koefisien dari $ x^3$ adalah 2.
Suku kedua : $ - 5x^2$ , koefisien dari $ x^2$ adalah $ -5 $.
Suku ketiga : $ x$ , koefisien dari $ x$ adalah $ 1 $.
Suku keempat : $ - 7$ , dengan -7 adalah suku tetapnya.$ 7x^9 + 2x^3 - 3x + 2 $
Bentuk $ 7x^9 + 2x^3 - 3x + 2 *$ berderajat 9 (pangkat tertingginya).
Suku-suku dan koefisiennya :
Suku pertama : $ 7x^9$ , koefisien dari $ x^9$ adalah 7.
Suku kedua : $ 2x^3$ , koefisien dari $ x^3$ adalah $ 2 $.
Suku ketiga : $ - 3x$ , koefisien dari $ x$ adalah $ -3 $.
Suku keempat : $ 2$ , dengan 2 adalah suku tetapnya.
Operasi-operasi pada Suku Banyak
Operasi-operasi pada suku banyak yaitu penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian. Hanya saja yang akan dibahas pada artikel ini adalah penjumlahan, pengurangan, dan perkalian.
Misalkan ada suku banyak $ f(x)$ berderajat $ m$ dan $g(x)$ berderajat $ n $ :
Operasi penjumlahan :
Operasi penjumlahan dilakukan pada suku-suku yang sejenis saja.
$ f(x) + g(x)$ adalah suku banyak yang derajatnya adalah maksimum $ m $ atau $ n $.
Operasi pengurangan :
Operasi pengurangan dilakukan pada suku-suku yang sejenis saja.
$ f(x) - g(x) = f(x) + (-g(x)) *$ adalah suku banyak yang derajatnya adalah maksimum $ m *$ atau $ n $.
Operasi perkalian :
Operasi perkalian dilakukan pada semua suku-suku yang ada.
$f(x) \times g(x)*$ adalah suku banyak berderajat tepat sama dengan ($m + n$).
Contoh soal operasi-operasi pada suku banyak :
Diketahui suku banyak $ f(x) = x^3 - 2x^2 + 5$ dan $g(x) = x^2 + 5x - 3 $. Tentukanlah hasil dari :
- $ f(x) + g(x) $,
- $ f(x) - g(x) $,
- $ f(x) \times g(x) $
Penyelesaian :
- $ f(x) + g(x) $,
$$\begin{align}
f(x) + g(x) & = (x^3 - 2x^2 + 5) + (x^2 + 5x - 3) \\
& = x^3 + (-2x^2 + x^2) + 5x + (5 - 3) \\
& = x^3 + (-x^2) + 5x + 2 \\
& = x^3 -x^2 + 5x + 2
\end{align}$$ - $ f(x) - g(x) $,
$ \begin{align}
f(x) - g(x) & = (x^3 - 2x^2 + 5) - (x^2 + 5x - 3) \\
& = (x^3 - 2x^2 + 5) - x^2 - 5x + 3 \\
& = x^3 + (-2x^2 - x^2) - 5x + (5 + 3) \\
& = x^3 + (-3x^2) - 5x + 8 \\
& = x^3 -3x^2 - 5x + 8
\end{align} $ - $ f(x) \times g(x) $ .
Ingat sifat eksponen : $ a^m . a^n = a^{m+n} $
$ \begin{align}
f(x) \times g(x) & = (x^3 - 2x^2 + 5) \times (x^2 + 5x - 3) \\
& = x^3(x^2 + 5x - 3) - 2x^2(x^2 + 5x - 3) + 5(x^2 + 5x - 3) \\
& = x^3.x^2 + x^3.5x - x^3.3 - 2x^2.x^2 - 2x^2.5x + 2x^2.3 + 5.x^2 + 5.5x - 5.3\\
& = x^5 + 5x^4 - 3x^3 - 2x^4 - 10x^3 + 6x^2 + 5x^2 + 25x - 15\\
& = x^5 + (5x^4 - 2x^4) +( - 3x^3 - 10x^3 ) + (6x^2 + 5x^2) + 25x - 15\\
& = x^5 + 3x^4 +( - 13x^3 ) + 11x^2 + 25x - 15\\
& = x^5 + 3x^4 - 13x^3 + 11x^2 + 25x - 15
\end{align} $
3). Diketahui suku banyak $ f(x) = (2x + a)(x+b)$ dan $g(x) = cx^2 + 3x - 2$, dengan $ a, b, c$ adalah bilangan bulat.
Jika $ f(x) = g(x)$ , maka tentukan nilai $ a + b + c $.
Penyelesaian :
). Menyusun persamaan dari $ f(x) = g(x) $.
$ \begin{align}
f(x) &= g(x) \\
(2x + a)(x+b) &= cx^2 + 3x - 2 \\
2x^2 + 2bx + ax + ab &= cx^2 + 3x - 2 \\
2x^2 + (2b+a)x + ab &= cx^2 + 3x - 2
\end{align} $
kita samakan berdasarkan suku-suku yang sejenis, kita peroleh :
$ 2x^2 = cx^2 \rightarrow c = 2 $.
$ (2b+a)x = 3x \rightarrow 2b + a = 3 \rightarrow a = 3 - 2b$ ….pers(i)
$ ab = -2$ ….pers(ii) .
Substitusi pers(i) ke pers(ii) :
$ \begin{align}
ab &= -2\\
(3 - 2b)b &= -2\\
3b - 2b^2 &= -2\\
2b^2 - 3b - 2 &= 0\\
(2b + 1)(b - 2) &= 0\\
b = -\frac{1}{2} \vee b &= 2
\end{align} $
yang memenuhi adalah $ b = 2 $.
pers(i) : $ a = 3 - 2b = 3 - 2.2 = 3 - 4 = -1 $.
Sehingga nilai $ a + b + c = -1 + 2 + 2 = 3 $.
Jadi, nilai $ a + b + c = 3 $.