Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV) merupakan materi Matematika yang kamu pelajari di kelas 10 atau fase E di kurikulum merdeka. Cari tahu pengertian, bentuk, rumus, dan cara penyelesaiannya di artikel ini.
Setelah sebelumnya kita mengenal apa itu persamaan linear tiga variabel, selanjutnya kita akan membahas bagaimana cara menyelesaikan sistem persamaan linear tiga variabel.
Mari kita ulas sedikit tentang bentuk umum SPLTV. Pada dasarnya SPLTV merupakan gabungan dari beberapa persamaan linear tiga variabel biasanya 3 persamaan.
Bentuk Umum Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV)
Sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV) merupakan sistem persamaan yang disusun oleh tiga persamaan linear dengan tiga variabel (misalnya x, y, z) dan setiap variabelnya berpangkat satu. catatan: variabel yang digunakan tidak hanya x, y, dan z dapat kamu gunakan pasangan huruf lain misalnya p, q, dan r atau huruf lainnya.
Bentuk umum Sistem Persamaan Linear Tiga variabel adalah sebagai berikut: $$ \begin{cases} a_1x+b_1y+c_1z = d_1 \\ a_2x+b_2y+c_2z = d_2 \\ a_3x+b_3y+c_3z = d_3 \\ \end{cases} $$
Keterangan:
- Variabel adalah $x, y$ dan $z$
- Koefisien adalah $a_1, a_2, a_3, b_1, b_2, b_3, c_1, c_2, c_3$
- konstanta adalah $d_1, d_2, d_3$
Perhatikan gambar berikut
Berapakah harga setiap item?
Berdasarkan gambar buatlah model matematika dalam bentuk SPLTV!
Alternatif Penyelesaian ✍️
misalkan :
x = harga sepiring nasi (dalam rupiah)
y = harga sepotong ayam goreng (dalam rupiah)
z = harga segelas kopi (dalam rupiah)
Maka, persamaan matematikanya menjadi
$x+y+z=16.000$ …. Persamaan (1)
$x+2y+z=23.000$ …. Persamaan (2)
$2x+3y=29.0000$ …. Persamaan (3)
Solusi dari Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV)
Solusi dari SPLTV adalah pasangan terurut yang memenuhi setiap persamaan dalam sistem. Perhatikan SPLTV yang diperoleh dari situasi sebelumnya. kita dapatkan SPLTV
$x+y+z=16.000$ …. Persamaan (1)
$x+2y+z=23.000$ …. Persamaan (2)
$2x+3y=29.0000$ …. Persamaan (3)
Kira-kira, berapa nilai x, y, dan z yang memenuhi persamaan di atas? Kita coba satu-satu, ya. Misal x, y, dan z adalah (5.000, 4.000, 3.000). Maka,
$x+y+z=16.000 \rightarrow 5.000 + 4.000 + 3.000 = 12.000 \rightarrow$ tidak memenuhi
Karena (5.000, 4.000, 3.000) nggak memenuhi persamaan linear tiga variabel di atas, sekarang kita coba pakai nilai x, y, dan z adalah (4.000, 7.000, 5.000). Substitusikan ke setiap persamaan.
Pada persamaan (1) $$\begin{align*} x+y+z=16.000 \\ 4.000 + 7.000 + 5.000 =16.000 \\ 16.000=16.000 \end{align*}$$ nilai yang terbentuk memenuhi
Pada persamaan (2) $$\begin{align*} x+2y+z=23.000 \\ 4.000 + 2(7.000) + 5.000 =16.000 \\ 4.000 + 14.000 + 5.000 =23.000 \\ 23.000=23.000 \end{align*}$$ nilai yang terbentuk memenuhi
Pada persamaan (3) $$\begin{align*} 2x+3y=29.0000 \\ 2(4.000) + 3(7.000) =29.000 \\ 8.000 + 21.000 + = 29.000 \\ 29.000=29.000 \end{align*}$$ nilai yang terbentuk memenuhi
Nah, karena nilai (4.000, 7.000, 5.000) memenuhi ketiga persamaan, artinya solusi dari contoh soal di atas adalah (4.000, 7.000, 5.000).
Contoh soal SPLTV di atas kita kerjakan menggunakan cara menebak. kalau kita gunakan menebak, pasti bakal ngabisin banyak waktu.
Terus, gimana cara menemukan nilai x, y, dan z dari sistem persamaan linear tiga variabel yang sebenarnya?
Metode menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV)
Sama halnya dengan metode penyelesaian SPLDV ya. SPLTV dapat kita selesaikan dengan menggunakan metode eliminasi, substitusi atau keduanya (campuran).
Metode Eliminasi
Perhatikan SPLTV yang diperoleh dari situasi tadi. Kita dapatkan 3 persamaan yaitu
$$ \begin{cases} x+y+z&=16.000 &\text{…pers (1) } \\ x+2y+z&=23.000 &\text{…pers (2) } \\ 2x+3y&=29.0000 &\text{…pers (3) } \\ \end{cases} $$
Misalkan variabel yang akan kita hilangkan adalah variabel z. lakukan eliminasi variabel z dengan menggunakan 2 persamaan. Biar mudah kita gunakan persamaan 1 dan 2 karena koefisien c pada pers 1 dan pers 2 sudah sama, tinggal kita kurangkan.
$$\begin{align*} x+y+z&=16.000 & \\ x+2y+z&=23.000 & - \\ \hline -y &= -7.000 & \\ y &= 7.000 & \end{align*}$$
Sudah ketemu nilai dari variabel y yaitu $y=7.000$. selanjutnya kamu bisa mencari nilai x dan z, kita bisa menggunakan eliminasi lagi dengan menggunakan persamaan lainnya atau bisa menggunakan substitusi biar lebih gampang. Mari kita coba dengan substitusi.
Metode Substitusi
Dari metode eliminasi diatas, kita udah dapat nilai y. Selanjutnya, nilai x dan z bisa kita temukan dengan substitusi nilai y ke persamaan yang lain.
Misalkan kita substitusikan $y=7.000$ ke pers. (3) $$\begin{align*} 2x+3y &= 29.000\\ \Leftrightarrow 2x+3(7.000) &= 29.000\\ \Leftrightarrow 2x+21.000 &= 29.000\\ \Leftrightarrow 2x &= 29.000-21.000\\ \Leftrightarrow 2x &= 8.000\\ \Leftrightarrow x &= 4.000 \end{align*}$$
Kita sudah mendapatkan nilai $x=4.000$ dan $y=7.000$. Selanjutnya kita cari nilai z dengan mensubstitusi kedua nilai ke persamaan lain. Pilih salah satu. misal kita pilih pers. (1)
Substitusi $x=4.000$ dan $y=7.000$
ke pers (1) $x+y+z=16.000$.
$$\begin{align*} x+y+z&=16.000\\ \Leftrightarrow 4.000+7.000+z&=16.000\\ \Leftrightarrow 11.000+z &= 16.000\\ \Leftrightarrow z &= 16.000-11.000\\ \Leftrightarrow z &= 5.000 \end{align*}$$
Oke sudah ketemu semua yaitu $x=4.000$, $y=7.000$, dan $z=5.000$. Elo udah berhasil menemukan nilai x, y, dan, z. Jadi, dari metode eliminasi dan substitusi ini disebut metode campuran, sehingga himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear tiga variabel di atas adalah $HP = \{ (4.000,7.000,5.000) \}$.
Agar kamu lebih menguasai perhatikan contoh soal berikut ya.. coba kamu berlatih tanpa melihat pembahasannya.
Contoh Soal Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel
Contoh 1
Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear tiga variabel berikut! $$ \begin{cases} x - y + 2z = 4 \\ 2x + 2y - z = 2 \\ 3x + y + 2z = 8 \end{cases} $$
Alternatif Penyelesaian ✍️
eliminasi pers (i) dan pers (ii) $$\begin{array}{c|c|cc} x - y + 2z = 4 & \times 2 & 2x - 2y + 4z = 8 & \\ 2x + 2y - z = 2 & \times 1 & 2x + 2y - z = 2 & + \\ \hline & & 4x + 3z = 10 & \end{array} $$
Hasilnya kita sebut sebagai pers(iv) : $ 4x + 3z = 10 $
pers(i) dan pers(iii) : $$\begin{array}{cc} x - y + 2z = 4 & \\ 3x + y + 2z = 8 & + \\ \hline 4x + 4z = 12 & \end{array} $$
Hasilnya kita sebut sebagai pers(v) : $ 4x + 4z = 12 $
Tebentuklah SPL baru : $$ \begin{cases} 4x + 3z = 10 \\ 4x + 4z = 12 \end{cases} $$
Eliminasi variabel $ x $ dari pers(iv) dan pers(v) $$\begin{array}{cc} 4x + 3z = 10 & \\ 4x + 4z = 12 & - \\ \hline -z = -2 & \\ z = 2 & \end{array} $$
Substitusi $ z = 2 $ ke pers(iv) $$ 4x + 3z = 10 \\ \rightarrow 4x + 3.2 = 10\\ \rightarrow 4x = 4 \\ \rightarrow x = 1 $$
Substitusi $ z = 2 $ dan $ x = 1 $ ke pers(i) $$ x - y + 2z = 4 \\ \rightarrow 1 - y + 2.2 = 4 \\ \rightarrow y = 1 $$ Sehingga nilai $ x= 1, y=1, z=2 $ Jadi, Himpunan penyelesaiannya adalah $HP=\{ (1,1,2)\} $.
Contoh soal 2
Dalam satu kemasan permen dengan neto 250 gr, berisi 3 varian bentuk, seperti gambar berikut
merkipun netonya sama-sama 250 gr, isinya dapat jadi berbeda-beda. Saat seseorang membuka tiga kemasan, diperoleh banyaknya tiap varian sebagai berikut
Tentukan berat dari setiap varian!
Contoh Soal 3
Pada sebuah toko buku, Melly membeli 4 buku, 2 pulpen dan 3 pensil dengan harga Rp. 30.200,00. Fahri membeli 3 buku, 3 pulpen dan 1 pensil dengan harga Rp. 24.900,00. Farida membeli 3 buku, 2 pulpen dan 2 pensil dengan harga Rp. 23.800,00. Berapa harga masing–masing buku, pulen dan pensil ?