Trigonometri berkaitan erat dengan segitiga. Perbandingan Trigonometri pada Segitiga Siku-Siku ada beberapa jenis yaitu sin, cos, tan.

Trigonometri berkaitan erat dengan segitiga. Perbandingan trigonometri ada beberapa jenis yaitu sin, cos, tan, secan (sec), cossec (csc), dan cotangen (cot). Trigonometri (dari bahasa Yunani trigonon “segitiga” + metron “ukuran”).

Trigonometri membantu kita menemukan sudut dan jarak, dan banyak digunakan dalam sains, teknik, video game, dan lainnya. Banyak sekali kita jumpai berbagai hal yang terkait dengan perbandingan trigonometri. Perbandingan trigonometri dapat digunakan untuk memecahkan masalah kontekstual yang berhubungan dengan sudut dan juga jarak. Dengan mempelajari perbandingan trigonometri kita dapat melatih penalaran dalam menyelesaikan permasalahan tersebut.

Yukk kita mulai dari mengingat dulu segitiga siku-siku…

Segitiga Siku-siku

Perhatikan gambar segitiga siku-siku berikut! Segitiga Siku-siku

Sudut siku-siku ditunjukkan oleh kotak kecil dan misalkan sudut lain diberi tanda α\alpha. Maka beberapa istilah sisi-sisinya adalah:

  • sisi samping yaitu sisi yang berdekatan (sebelah) sudut α\alpha,
  • sisi depan yaitu sisi yang berlawanan dengan sudut α\alpha,
  • sisi miring adalah sisi terpanjang dari segitiga siku-siku.

Ingat dengan teorema pythagoras??? yaps… itu juga akan kita gunakan dalam mempelajari trigonometri ini..

Segitiga Siku-siku Pada gambar segitiga siku-siku diatas maka berlaku

  • c2=a2+b2c^2=a^2+b^2 atau c=a2+b2c=\sqrt{a^2+b^2}
    untuk mencari panjang sisi miring atau terpanjang atau hipotenusa jika panjang sisi penyikunya diketahui
  • a2=c2−b2a^2=c^2-b^2 atau a=c2−b2a=\sqrt{c^2-b^2}
    untuk mencari panjang sisi depan jika panjang sisi miring dan sisi samping diketahui
  • b2=c2−a2b^2=c^2-a^2 atau b=c2−a2b=\sqrt{c^2-a^2}
    untuk mencari panjang sisi samping jika panjang sisi miring dan sisi depan diketahui

Contoh soal pythagoras

Tentukan nilai x dalam segitiga berikut. Soal pythagoras

Penyelesaian

xx bukan merupakan sisi terpanjang sehingga dapat menggunakan rumus ke 2 atau 3 x=72−22x=49−4x=45x=\sqrt{7^2-2^2}\\x=\sqrt{49-4}\\x=\sqrt{45} Jadi, nilai x adalah 45\sqrt{45}.

Perbandingan Trigonometri pada Segitiga Siku-Siku

Catatan: Istilah yang sering muncul adalah sin, cos, tan… paling mudah menghafalnya dalah sindemi, cossami, tandesa.. perbandingan trigonometri segitiga siku-siku

Contoh Soal Perbandingan Trigonometri

  1. Tentukan nilai perbandingan trigonometri sin⁡θ,cos⁡θ,tan⁡θ\sin\theta, \cos\theta, \tan\theta pada gambar berikut Soal Perbandingan Trigonometri Segitiga Siku-siku

    Alternatif Penyelesaian ✍️

    • mencari panjang sisi AC atau sisi samping dengan pythagoras AC=AB2−BC2=102−82=100−64=36AC=6\begin{align*} AC&=\sqrt{AB^2-BC^2}\\ &=\sqrt{10^2-8^2}\\ &=\sqrt{100-64}\\ &=\sqrt{36}\\ AC&=6 \end{align*}
    • mencari nilai sin⁡θ,cos⁡θ,tan⁡θ\sin\theta, \cos\theta, \tan\theta sin⁡θ=demi=BCAB=810=45\sin\theta=\frac{de}{mi}=\frac{BC}{AB}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5} cos⁡θ=sami=ACAB=610=35\cos\theta=\frac{sa}{mi}=\frac{AC}{AB}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5} tan⁡θ=desa=BCAC=86=43\tan\theta=\frac{de}{sa}=\frac{BC}{AC}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}

  2. Diketahui segitiga PQR siku-siku di Q dengan panjang sisi PR=5PR=\sqrt5 satuan dan panjang sisi QR=2QR= 2 satuan. Jika ∠RPQ=α\angle RPQ = \alpha, tentukan nilai sin⁡α,cos⁡α,tan⁡α\sin\alpha, \cos\alpha, \tan\alpha!

    Alternatif Penyelesaian ✍️

    • menggambar segitiga siku-siku dan Perhatikan gambar segitiga siku-siku berikut Soal 2 Perbandingan Trigonometri
    • mencari panjang sisi PQ atau sisi samping dengan pythagoras.
      PQ=PR2−RQ2=(5)2−22=5−4=1PQ=1\begin{align*} PQ&=\sqrt{PR^2-RQ^2}\\ &=\sqrt{(\sqrt{5})^2-2^2}\\ &=\sqrt{5-4}\\ &=\sqrt{1}\\ PQ&=1 \end{align*}
    • mencari nilai sin⁡α,cos⁡α,tan⁡α\sin\alpha, \cos\alpha, \tan\alpha sin⁡α=demi=RQPR=25=255\sin\alpha=\frac{de}{mi}=\frac{RQ}{PR}=\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2}{5}\sqrt{5} cos⁡α=sami=PQPR=15=155\cos\alpha=\frac{sa}{mi}=\frac{PQ}{PR}=\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{1}{5}\sqrt{5} tan⁡α=desa=RQPQ=21=2\tan\alpha=\frac{de}{sa}=\frac{RQ}{PQ}=\frac{2}{1}=2

  3. Diketahui cos⁡β∘=12\cos \beta^\circ = \frac{1}{2} dan β\beta sudut lancip (0∘<β<90∘0^\circ < \beta < 90^\circ). Carilah nilai perbandingan trigonometri sudut β\beta yang lain.

    Alternatif Penyelesaian ✍️

    • identifikasi sisi segitiga
      cos⁡β∘=12=sami\cos \beta^\circ = \frac{1}{2}=\frac{sa}{mi}, kita dapatkan panjang sisi samping 1 dan panjang sisi miring 2
    • menggambar segitiga siku-siku, misalkan △ABC\triangle ABC siku-siku di B dan ∠BAC=β\angle BAC = \beta maka AB=1 dan AC=2
      Perhatikan gambar berikut Soal 3 Perbandingan Trigonometri
    • mencari panjang sisi AB atau sisi depan dengan pythagoras.
      BC=AC2−AB2=22−12=4−1BC=3\begin{align*} BC&=\sqrt{AC^2-AB^2}\\ &=\sqrt{2^2-1^2}\\ &=\sqrt{4-1}\\ BC&=\sqrt{3}\end{align*}
    • mencari nilai sin⁡β,cos⁡β,tan⁡β\sin\beta, \cos\beta, \tan\beta sin⁡β=demi=BCAC=32=123\sin\beta=\frac{de}{mi}=\frac{BC}{AC}=\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{2}\sqrt{3} cos⁡β=sami=ABAC=12\cos\beta=\frac{sa}{mi}=\frac{AB}{AC}=\frac{1}{2} tan⁡β=desa=BCAB=31=3\tan\beta=\frac{de}{sa}=\frac{BC}{AB}=\frac{\sqrt{3}}{1}=\sqrt{3}

  4. Diketahui tan⁡α∘=34\tan \alpha^\circ = \dfrac{3}{4} dan α\alpha sudut lancip (0∘<α<90∘0^\circ < \alpha < 90^\circ). tentukan nilai dari sin⁡α−tan⁡αsin⁡2α+cos⁡2α\dfrac{\sin\alpha-\tan\alpha}{\sin^2\alpha+\cos^2\alpha} .

    Alternatif Penyelesaian ✍️

    • identifikasi sisi segitiga
      tan⁡α∘=34=desa\tan \alpha^\circ = \dfrac{3}{4}= \dfrac{de}{sa}, kita dapatkan panjang sisi depan 3 dan panjang sisi samping 4
    • menggambar segitiga siku-siku, misalkan △ABC\triangle ABC siku-siku di B dan ∠BAC=α\angle BAC = \alpha maka AB=4 dan BC=3
      Perhatikan gambar berikut Soal 4 Perbandingan Trigonometri
    • mencari panjang sisi AC atau sisi miring dengan pythagoras.
      AC=AB2+BC2=32+42=9+16AC=25=5\begin{align*} AC&=\sqrt{AB^2+BC^2}\\ &=\sqrt{3^2+4^2}\\ &=\sqrt{9+16}\\ AC&=\sqrt{25}=5 \end{align*}
    • mencari nilai sin⁡α−tan⁡αsin⁡2α+cos⁡2α\dfrac{\sin\alpha-\tan\alpha}{\sin^2\alpha+\cos^2\alpha}
      sin⁡α−tan⁡αsin⁡2α+cos⁡2α=35−34(35)2+(45)2=1220−1520925+1625=−3202525=−320\begin{align*} \frac{\sin\alpha-\tan\alpha}{\sin^2\alpha+\cos^2\alpha}&=\frac{\frac{3}{5}-\frac{3}{4}}{\left(\frac{3}{5}\right)^2+\left(\frac{4}{5}\right)^2}\\ &=\frac{\frac{12}{20}-\frac{15}{20}}{\frac{9}{25}+\frac{16}{25}}\\ &=\frac{-\frac{3}{20}}{\frac{25}{25}}\\ &=-\frac{3}{20} \end{align*} Jadi, nilai sin⁡α−tan⁡αsin⁡2α+cos⁡2α=−320\dfrac{\sin\alpha-\tan\alpha}{\sin^2\alpha+\cos^2\alpha}=-\dfrac{3}{20}

Latihan Soal

  1. Segitiga ABCABC siku-siku di CC. Apabila sin⁡A=12\sin A=\dfrac{1}{2},tentukan:
    1. cos⁡A\cos A dan tan⁡A\tan A
    2. sec⁡A\sec A dan cot⁡A\cot A
  2. Diketahui segitiga siku-siku ABC dengan siku-siku di C. Jika Panjang AC= 5 cm dan BC = 12 cm, tentukan
    1. Gambar segitiga ABC
    2. Nilai sin A
    3. Nilai cos A
    4. Nilai tan A
    5. Nilai sin B
    6. Nilai cos B
    7. Nilai tan B