Perbandingan Trigonometri Pada Segitiga Siku-Siku

Trigonometri berkaitan erat dengan segitiga. Perbandingan Trigonometri pada Segitiga Siku-Siku ada beberapa jenis yaitu sin, cos, tan.

Trigonometri berkaitan erat dengan segitiga. Perbandingan trigonometri ada beberapa jenis yaitu sin, cos, tan, secan (sec), cossec (csc), dan cotangen (cot). Trigonometri (dari bahasa Yunani trigonon “segitiga” + metron “ukuran”).

Trigonometri membantu kita menemukan sudut dan jarak, dan banyak digunakan dalam sains, teknik, video game, dan lainnya. Banyak sekali kita jumpai berbagai hal yang terkait dengan perbandingan trigonometri. Perbandingan trigonometri dapat digunakan untuk memecahkan masalah kontekstual yang berhubungan dengan sudut dan juga jarak. Dengan mempelajari perbandingan trigonometri kita dapat melatih penalaran dalam menyelesaikan permasalahan tersebut.

Yukk kita mulai dari mengingat dulu segitiga siku-siku…

Segitiga Siku-siku

Perhatikan gambar segitiga siku-siku berikut!

Sudut siku-siku ditunjukkan oleh kotak kecil dan misalkan sudut lain diberi tanda $\alpha$. Maka beberapa istilah sisi-sisinya adalah:

• sisi samping yaitu sisi yang berdekatan (sebelah) sudut $\alpha$,
• sisi depan yaitu sisi yang berlawanan dengan sudut $\alpha$,
• sisi miring adalah sisi terpanjang dari segitiga siku-siku.

Ingat dengan teorema pythagoras??? yaps… itu juga akan kita gunakan dalam mempelajari trigonometri ini..

Pada gambar segitiga siku-siku diatas maka berlaku

• $c^2=a^2+b^2$ atau $c=\sqrt{a^2+b^2}$
  untuk mencari panjang sisi miring atau terpanjang atau hipotenusa jika panjang sisi penyikunya diketahui
• $a^2=c^2-b^2$ atau $a=\sqrt{c^2-b^2}$
  untuk mencari panjang sisi depan jika panjang sisi miring dan sisi samping diketahui
• $b^2=c^2-a^2$ atau $b=\sqrt{c^2-a^2}$
  untuk mencari panjang sisi samping jika panjang sisi miring dan sisi depan diketahui

Contoh soal pythagoras

Tentukan nilai x dalam segitiga berikut.

Penyelesaian

$x$ bukan merupakan sisi terpanjang sehingga dapat menggunakan rumus ke 2 atau 3 $$x=\sqrt{7^2-2^2}\\x=\sqrt{49-4}\\x=\sqrt{45}$$ Jadi, nilai x adalah $\sqrt{45}$.

Perbandingan Trigonometri pada Segitiga Siku-Siku

Catatan: Istilah yang sering muncul adalah sin, cos, tan… paling mudah menghafalnya dalah sindemi, cossami, tandesa..

Contoh Soal Perbandingan Trigonometri

1. Tentukan nilai perbandingan trigonometri $\sin\theta, \cos\theta, \tan\theta$ pada gambar berikut

   Alternatif Penyelesaian ✍️

   • mencari panjang sisi AC atau sisi samping dengan pythagoras $$\begin{align*} AC&=\sqrt{AB^2-BC^2}\\ &=\sqrt{10^2-8^2}\\ &=\sqrt{100-64}\\ &=\sqrt{36}\\ AC&=6 \end{align*}$$
   • mencari nilai $\sin\theta, \cos\theta, \tan\theta$ $$\sin\theta=\frac{de}{mi}=\frac{BC}{AB}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}$$ $$\cos\theta=\frac{sa}{mi}=\frac{AC}{AB}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$$ $$\tan\theta=\frac{de}{sa}=\frac{BC}{AC}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}$$

2. Diketahui segitiga PQR siku-siku di Q dengan panjang sisi $PR=\sqrt5$ satuan dan panjang sisi $QR= 2$ satuan. Jika $\angle RPQ = \alpha$, tentukan nilai $\sin\alpha, \cos\alpha, \tan\alpha$!
   

   Alternatif Penyelesaian ✍️

   • menggambar segitiga siku-siku dan Perhatikan gambar segitiga siku-siku berikut
   • mencari panjang sisi PQ atau sisi samping dengan pythagoras.
     $$\begin{align*} PQ&=\sqrt{PR^2-RQ^2}\\ &=\sqrt{(\sqrt{5})^2-2^2}\\ &=\sqrt{5-4}\\ &=\sqrt{1}\\ PQ&=1 \end{align*}$$
   • mencari nilai $\sin\alpha, \cos\alpha, \tan\alpha$ $$\sin\alpha=\frac{de}{mi}=\frac{RQ}{PR}=\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2}{5}\sqrt{5}$$ $$\cos\alpha=\frac{sa}{mi}=\frac{PQ}{PR}=\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{1}{5}\sqrt{5}$$ $$\tan\alpha=\frac{de}{sa}=\frac{RQ}{PQ}=\frac{2}{1}=2$$

3. Diketahui $\cos \beta^\circ = \frac{1}{2}$ dan $\beta$ sudut lancip ($0^\circ < \beta < 90^\circ$). Carilah nilai perbandingan trigonometri sudut $\beta$ yang lain.

   Alternatif Penyelesaian ✍️

   • identifikasi sisi segitiga
     $\cos \beta^\circ = \frac{1}{2}=\frac{sa}{mi}$, kita dapatkan panjang sisi samping 1 dan panjang sisi miring 2
   • menggambar segitiga siku-siku, misalkan $\triangle ABC$ siku-siku di B dan $\angle BAC = \beta$ maka AB=1 dan AC=2
     Perhatikan gambar berikut
   • mencari panjang sisi AB atau sisi depan dengan pythagoras.
     $$\begin{align*} BC&=\sqrt{AC^2-AB^2}\\ &=\sqrt{2^2-1^2}\\ &=\sqrt{4-1}\\ BC&=\sqrt{3}\end{align*}$$
   • mencari nilai $\sin\beta, \cos\beta, \tan\beta$ $$\sin\beta=\frac{de}{mi}=\frac{BC}{AC}=\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{2}\sqrt{3}$$ $$\cos\beta=\frac{sa}{mi}=\frac{AB}{AC}=\frac{1}{2}$$ $$\tan\beta=\frac{de}{sa}=\frac{BC}{AB}=\frac{\sqrt{3}}{1}=\sqrt{3}$$

4. Diketahui $\tan \alpha^\circ = \dfrac{3}{4}$ dan $\alpha$ sudut lancip ($0^\circ < \alpha < 90^\circ$). tentukan nilai dari $\dfrac{\sin\alpha-\tan\alpha}{\sin^2\alpha+\cos^2\alpha} $.
   

   Alternatif Penyelesaian ✍️

   • identifikasi sisi segitiga
     $\tan \alpha^\circ = \dfrac{3}{4}= \dfrac{de}{sa}$, kita dapatkan panjang sisi depan 3 dan panjang sisi samping 4
   • menggambar segitiga siku-siku, misalkan $\triangle ABC$ siku-siku di B dan $\angle BAC = \alpha$ maka AB=4 dan BC=3
     Perhatikan gambar berikut
   • mencari panjang sisi AC atau sisi miring dengan pythagoras.
     $$\begin{align*} AC&=\sqrt{AB^2+BC^2}\\ &=\sqrt{3^2+4^2}\\ &=\sqrt{9+16}\\ AC&=\sqrt{25}=5 \end{align*}$$
   • mencari nilai $\dfrac{\sin\alpha-\tan\alpha}{\sin^2\alpha+\cos^2\alpha}$
     $$\begin{align*} \frac{\sin\alpha-\tan\alpha}{\sin^2\alpha+\cos^2\alpha}&=\frac{\frac{3}{5}-\frac{3}{4}}{\left(\frac{3}{5}\right)^2+\left(\frac{4}{5}\right)^2}\\ &=\frac{\frac{12}{20}-\frac{15}{20}}{\frac{9}{25}+\frac{16}{25}}\\ &=\frac{-\frac{3}{20}}{\frac{25}{25}}\\ &=-\frac{3}{20} \end{align*}$$ Jadi, nilai $\dfrac{\sin\alpha-\tan\alpha}{\sin^2\alpha+\cos^2\alpha}=-\dfrac{3}{20}$

Latihan Soal

1. Segitiga $ABC$ siku-siku di $C$. Apabila $\sin A=\dfrac{1}{2}$,tentukan:
   1. $\cos A$ dan $\tan A$
   2. $\sec A$ dan $\cot A$
2. Diketahui segitiga siku-siku ABC dengan siku-siku di C. Jika Panjang AC= 5 cm dan BC = 12 cm, tentukan
   1. Gambar segitiga ABC
   2. Nilai sin A
   3. Nilai cos A
   4. Nilai tan A
   5. Nilai sin B
   6. Nilai cos B
   7. Nilai tan B