Suatu hal yang hanya berlaku untuk ruang vektor berdimensi tiga R3 adalah cross vektor (perkalian vektor antara 2 vektor), yakni perkalian antara 2 vektor yang menghasilkan vektor tunggal.

Suatu hal yang hanya berlaku untuk ruang vektor berdimensi tiga R3 adalah cross vektor (perkalian vektor antara 2 vektor), yakni perkalian antara 2 vektor yang menghasilkan vektor tunggal.

Cross product atau hasil kali silang merupakan hasil kali antara dua vektor di ruang dimensi tiga (R3) yang menghasilkan vektor tegak lurus terhadap kedua vektor yang dikalikan. Atau dapat juga dikatakan bahwa perkalian silang antara dua vektor akan menghasilkan vektor baru yang arahnya tegak lurus dengan masing-masing vektor.

Penentuan arah vektor pada perkalian silang dapat menggunakan kaidah tangan kanan yang melibatkan telapak tangan, empat jari, dan jempol/ibu jari. Di mana, telapak tangan menuju arah vektor pertama yang akan dikalikan dan empat jari menuju arah vektor kedua. Kemudian, arah vektor satuan hasil perkalian ditunjukkan oleh ibu jari. Kaidah tangan kanan

1. Definisi

Jika uβƒ—β‰ 0\vec{u} \ne 0 dan vβƒ—β‰ 0\vec{v}\ne 0 dalam ruang dapat diputar tanpa mengubah besar atau arah masing-masing sehingga titik pangkalnya berimpit, dengan kaidah tangan kanan (ulir kanan) didefinisikan bahwa: uβƒ—Γ—vβƒ—=e^∣uβƒ—βˆ£βˆ£vβƒ—βˆ£sin⁑θ, 0≀θ≀π\vec{u}\times \vec{v}=\widehat{e}\left| \vec{u} \right|\left| \vec{v} \right|\sin \theta ,\text{ 0}\le \theta \le \pi

e^\widehat{e}= vektor satuan yang tegak lurus u⃗\vec{u} dan v⃗\vec{v}
uβƒ—Γ—vβƒ—\vec{u}\times \vec{v} dibaca β€œvektor u kros vektor v” atau cukup dengan β€œu kros v” saja.

Rumus determinan cross vektor

Perkalian vektor dua vektor ditulis dengan u⃗×v⃗\vec{u}\times \vec{v} dirumuskan dengan determinan matriks sebagai berikut.

Jika uβƒ—=a1i^+a2j^+a3k^\vec{u}=a_1\widehat{i}+a_2\widehat{j}+a_3\widehat{k} dan vβƒ—=b1i^+b2j^+b3k^\vec{v}=b_1\widehat{i}+b_2\widehat{j}+b_3\widehat{k} maka uβƒ—Γ—vβƒ—=∣i^j^k^a1a2a3b1b2bβˆ’3∣\vec{u}\times \vec{v}=\left| \begin{matrix}\widehat{i} & \widehat{j} & \widehat{k}\\ a_1 & a_2 & a_3\\ b_1 & b_2 & b-3 \end{matrix} \right| dengan aturan Sarrus akan diperoleh hasil perkalian sebagai berikut. aturan sarrus uβƒ—Γ—vβƒ—=(a2b3βˆ’a3b2)i^+(a3b1βˆ’a1b3)j^+(a1b2βˆ’a2b1)k^\vec{u}\times \vec{v}=(a_2b_3-a_3b_2)\widehat{i}+(a_3b_1-a_1b_3)\widehat{j}+(a_1b_2-a_2b_1)\widehat{k}

2. Sifat

  1. Sifat 1: u⃗×v⃗\vec{u}\times \vec{v} merupakan vektor yang tegak lurus vektor u⃗\vec{u} dan tegak lurus vektor v⃗\vec{v}.
  2. Sifat 2: uβƒ—Γ—vβƒ—\vec{u}\times \vec{v} berlawanan arah dengan vβƒ—Γ—uβƒ—\vec{v}\times \vec{u} sehingga uβƒ—Γ—vβƒ—=βˆ’vβƒ—Γ—uβƒ—\vec{u}\times \vec{v}=-\vec{v}\times \vec{u}

Dalil: ∣uβƒ—Γ—vβƒ—βˆ£=∣uβƒ—βˆ£βˆ£vβƒ—βˆ£sin⁑θ\left| \vec{u}\times \vec{v} \right|=\left| \vec{u} \right|\left| \vec{v} \right|\sin \theta

Buktikanlah sifat cross vektor diatas sebagai latihan!

Contoh Soal Cross Vektor:

Diketahui vektor aβƒ—=2i^βˆ’j^+3k^\vec{a}=2\widehat{i}-\widehat{j}+3\widehat{k} dan bβƒ—=3i^βˆ’2j^+k^.\vec{b}=3\widehat{i}-2\widehat{j}+\widehat{k}. Tentukan hasil operasi

  1. a⃗×b⃗\vec{a}\times \vec{b}
  2. b⃗×a⃗\vec{b}\times \vec{a}
  3. ∣bβƒ—Γ—aβƒ—βˆ£\left| \vec{b}\times \vec{a} \right|

Alternatif Penyelesaian:

  1. Hasil operasi aβƒ—Γ—bβƒ—\vec{a}\times \vec{b} aβƒ—Γ—bβƒ—=∣i^j^k^2βˆ’133βˆ’21∣bβƒ—Γ—aβƒ—=∣i^j^k^2βˆ’133βˆ’21∣ i^j^2βˆ’13βˆ’2∣bβƒ—Γ—aβƒ—=βˆ’i^+9j^βˆ’4k^βˆ’(βˆ’3)k^βˆ’(βˆ’6)i^βˆ’2j^aβƒ—Γ—bβƒ—=5i^+7j^βˆ’k^\begin{align*} & \vec{a}\times \vec{b}=\left| \begin{matrix}\widehat{i} & \widehat{j} & \widehat{k}\\ 2 & -1 & 3\\ 3 & -2 & 1\end{matrix} \right| \\ & \vec{b}\times \vec{a}=\left| \begin{matrix} \widehat{i} & \widehat{j} & \widehat{k}\\ 2 & -1 & 3\\ 3 & -2 & 1\end{matrix} \right|\left. \text{ }\begin{matrix}\widehat{i} &\widehat{j}\\2 & -1\\3 & -2\end{matrix} \right| \\ & \vec{b}\times \vec{a}=-\widehat{i}+9\widehat{j}-4\widehat{k}-(-3)\widehat{k}-(-6)\widehat{i}-2\widehat{j} \\ & \vec{a}\times \vec{b}=5\widehat{i}+7\widehat{j}-\widehat{k}\end{align*}
  2. Hasil operasi bβƒ—Γ—aβƒ—\vec{b}\times \vec{a} bβƒ—Γ—aβƒ—=∣i^j^k^3βˆ’212βˆ’13∣bβƒ—Γ—aβƒ—=∣i^j^k^3βˆ’212βˆ’13∣ i^j^3βˆ’22βˆ’1∣bβƒ—Γ—aβƒ—=βˆ’6i^+2j^βˆ’3k^βˆ’(βˆ’4)k^βˆ’(βˆ’1)i^βˆ’9j^bβƒ—Γ—aβƒ—=βˆ’5i^βˆ’7j^+k^\begin{align*} & \vec{b}\times \vec{a}=\left| \begin{matrix} \widehat{i} & \widehat{j} & \widehat{k}\\ 3 & -2 & 1\\ 2 & -1 & 3\end{matrix} \right| \\ & \vec{b}\times \vec{a}=\left| \begin{matrix} \widehat{i} & \widehat{j} & \widehat{k}\\ 3 & -2 & 1\\ 2 & -1 & 3\end{matrix} \right|\left. \text{ }\begin{matrix}\widehat{i} & \widehat{j}\\ 3 & -2\\ 2 & -1\end{matrix} \right| \\ & \vec{b}\times \vec{a}=-6\widehat{i}+2\widehat{j}-3\widehat{k}-(-4)\widehat{k}-(-1)\widehat{i}-9\widehat{j}\\ & \vec{b}\times \vec{a}=-5\widehat{i}-7\widehat{j}+\widehat{k} \\ \end{align*}
  3. Hasil operasi ∣bβƒ—Γ—aβƒ—βˆ£\left| \vec{b}\times \vec{a} \right| ∣bβƒ—Γ—aβƒ—βˆ£=(βˆ’5)2+(βˆ’7)2+12∣bβƒ—Γ—aβƒ—βˆ£=25+49+1∣bβƒ—Γ—aβƒ—βˆ£=75∣bβƒ—Γ—aβƒ—βˆ£=53\begin{align*} & \left| \vec{b}\times \vec{a} \right|=\sqrt{{{(-5)}^{2}}+{{(-7)}^{2}}+{{1}^{2}}} \\ & \left| \vec{b}\times \vec{a} \right|=\sqrt{25+49+1} \\ & \left| \vec{b}\times \vec{a} \right|=\sqrt{75} \\ & \left| \vec{b}\times \vec{a} \right|=5\sqrt{3}\end{align*}

Contoh 2 Soal Cross Vektor

Diketahui Sudut antara vektor pβƒ— \vec{p} dan qβƒ— \vec{q} adalah 30∘ 30^\circ . Jika ∣pβƒ—βˆ£=4 |\vec{p}| = 4 dan ∣qβƒ—βˆ£=5 |\vec{q}| = 5 , maka tentukan ∣pβƒ—Γ—qβƒ—βˆ£ |\vec{p} \times \vec{q}| !
Penyelesaian :

Menentukan hasil ∣pβƒ—Γ—qβƒ—βˆ£ |\vec{p} \times \vec{q}| : ∣pβƒ—Γ—qβƒ—βˆ£=∣pβƒ—βˆ£βˆ£qβƒ—βˆ£sin⁑θ=4Γ—5sin⁑30∘=20Γ—12=10\begin{align*}|\vec{p} \times \vec{q}|& = |\vec{p} | |\vec{q}| \sin \theta \\& = 4 \times 5 \sin 30^\circ \\& = 20 \times \frac{1}{2} \\& = 10 \end{align*}
Jadi, hasil dari ∣pβƒ—Γ—qβƒ—βˆ£=10 |\vec{p} \times \vec{q}| = 10 .