Persamaan Garis Singgung Lingkaran

Garis singgung lingkaran merupakan suatu garis yang memotong lingkaran tepat pada satu titik dan berpotongan tegak lurus dengan jari-jari di titik singgungnya.

Garis singgung lingkaran merupakan suatu garis yang memotong lingkaran tepat pada satu titik dan berpotongan tegak lurus dengan jari-jari di titik singgungnya. Untuk memudahkan dalam mempelajari persamaan garis singgung lingkaran, sebaiknya pahami dulu materi persamaan lingkaran. Ada tiga jenis yang diketahui dalam menentukan persamaan garis singgung lingkaran, yaitu :

• Garis singgung yang melalui suatu titik pada lingkaran,
• Garis singgung melalui suatu titik di luar lingkaran, dan
• Garis singgung lingkaran yang diketahui gradien garisnya.

1. Persamaan Garis Singgung (PGS) yang Melalui Suatu Titik pada Lingkaran

Misalkan titik $P(x_1, y_1)$ terletak pada lingkaran dengan pusat $O(0, 0)$ dan berjari-jari $r$. Selanjutnya dibuat suatu garis singgung yang melalui titik P seperti pada gambar. Persamaan umum garis singgung tersebut adalah $𝑦−𝑦_1=𝑚(𝑥−𝑥_1)$. Kita dapat mencari gradien garis yang menghubungkan titik $O(0, 0)$ dan titik $P(x_1, y_1)$ dengan $$m_{OP}=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_1-0}{x_1-0}=\frac{y_1}{x_1}$$ Garis singgung lingkaran dan garis $OP$ saling tegak lurus sehingga $$\begin{align*} m\times m_{OP}&=-1\\m&=\frac{-1}{m_{OP}}\\m&=\frac{-1}{\frac{y_1}{x_1}}\\m&=\frac{-x_1}{y_1} \end{align*}$$ $𝑚 =\frac{−𝑥_1}{𝑦_1}$ disubstitusikan ke persamaan umum garis singgung $𝑦 − 𝑦_1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥_1)$, sehingga diperoleh : $$\begin{align*} (𝑦 − y_1) &=\frac{−𝑥_1}{𝑦_1}(𝑥 − x_1)\\y_1(𝑦 − y_1) &= −x_1(𝑥 − x_1)\\y_1𝑦 − {y_1}^2 &= −x_1𝑥 + {x_1}^2\\x_1𝑥 + y_1𝑦 &= {x_1}^2 + {y_1}^2\\𝒙𝟏𝒙 + 𝒚𝟏𝒚 &= 𝒓^𝟐 \end{align*}$$ Dari penjabaran diatas dapat disimpulkan bahwa

1. Persamaan Garis Singgung di Titik P($x_1, y_1$) pada Lingkaran $x^2 + y^2 = r^2$
   Persamaan garis singgungnya : $$\begin{align*}x_1.x + y_1.y = r^2 \end{align*}$$
2. Persamaan Garis Singgung di Titik P($x_1, y_1$) pada Lingkaran $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$ Persamaan garis singgungnya :
   $$\begin{align*}(x_1-a)(x-a) + (y_1 - b)(y-b) = r^2 \end{align*}$$
3. Persamaan Garis Singgung Melalui Titik Q($x_1, y_1$) pada Lingkaran $x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0$ Persamaan garis singgungnya :
   $$x_1.x + y_1.y + A. \frac{(x_1+x)}{2} + B\frac{(y_1+y)}{2} + C = 0$$

Contoh :

1. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran yang melalui titik (6, -8) pada lingkaran $x^2 + y^2 = 100$!
   Penyelesaian :
   1. periksa bahwa titik (6, -8) terletak pada lingkaran $x^2 + y^2 = 100$ , substitusi titik tersebut ke persamaan lingkaran. Jika hasil ruas kiri sama dengan ruas kanan, maka titik tersebut dikatakan terletak pada lingkaran. $$\begin{align*} (x,y) = (6,-8) \rightarrow x^2 + y^2 &= 100\\ 6^2 + (-8)^2 &= 100\\ 36 + 64 &= 100\\ 100 &= 100 \end{align*}$$ Karena hasil ruas kiri sama dengan ruas kanan, maka titik (6,-8) terletak pada lingkaran $x^2 + y^2 = 100$ dan merupakan titik singgung.
   2. Menentukan persamaan garis singgung lingkaran $$\begin{align*} (x_1,y_1) = (6,-8) \rightarrow x_1.x + y_1.y &= 100\\ 6x +(-8)y &= 100\\ 6x - 8y &= 100… \text{(bagi 2) } \\3x - 4y &= 50 \end{align*}$$ Jadi, PGS nya adalah $3x - 4y = 50$
2. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran $(x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 58$pada titik $Q(1, -4)$.
   Penyelesaian :
   1. Periksa dahulu apakah titik $Q(1, -4)$ terletak pada lingkaran $(x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 58$. $$\begin{align*} Q(1, -4) \Rightarrow &(1 + 2)^2 + (-4 − 3)^2 ? 58\\&3^2 + (-7)^2 = 9 + 49 = 58\text{ (benar)} \end{align*}$$ Berarti titik $Q(1, -4)$ terletak pada lingkaran dan merupakan titik singgung
   2. Menentukan persamaan garis singgungnya di titik $(x_1,y_1)=(1,-4)$ $$\begin{align*} (x_1-a)(x-a) + (y_1 - b)(y-b) &= r^2 \\(x_1+2)(x+2) + (y_1 - 3)(y-3) &= 58 \\(1+2)(x+2) + (-4 - 3)(y-3) &= 58 \\3(x+2) + (-7)(y-3) &= 58 \\3x + 6 - 7y + 21 &= 58 \\3x- 7y&= 31 \end{align*}$$ Jadi, PGS nya adalah $3x- 7y = 31$
3. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran $x^2 + y^2 -8x + 12y +27 = 0$pada titik A(7, -2).
   Penyelesaian :
   1. Periksa dahulu apakah titik $A(7, -2)$ terletak pada lingkaran $x^2 + y^2 -8x + 12y +27 = 0$. $$\begin{align*} A(7, -2) \Rightarrow &7^2+{-2}^2-8(7) + 12(-2) -27 ? 0\\&49+4-56-24+27 = 0\text{ (benar)} \end{align*}$$ Berarti titik $A(7, -2)$ terletak pada lingkaran dan merupakan titik singgung
   2. Menentukan persamaan garis singgungnya di titik $(x_1,y_1)=(7,-2)$ $$\begin{align*} x_1.x + y_1.y + A. \frac{(x_1+x)}{2} + B\frac{(y_1+y)}{2} + C &= 0\\ x_1.x + y_1.y -8.\frac{(x_1+x)}{2} + 12.\frac{(y_1+y)}{2} + 27 &= 0\\ 7.x -2.y -8.\frac{(7+x)}{2} + 12.\frac{(-2+y)}{2} + 27 &= 0\\ 7x - 2y -4(7+x) + 6(-2+y) + 27 &= 0\\ 7x - 2y -28 -4x -12 + 6y + 27 &= 0\\ 3x-4y - 13 &= 0 \end{align*}$$ Jadi, PGS nya adalah $3x-4y - 13=0$

2. Persamaan Garis Singgung (PGS) Lingkaran dengan gradien $m$

Sebuah garis yang mempunyai gradien $m$ dan melalui titik $(0, c)$ dinyatakan dengan $𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑐$. Jikagaris tersebut menyinggunglingkaran $𝑥^2 + 𝑦^2 = 𝑟^2$, maka persamaan garis singgung lingkaran tersebut dapat diperoleh dengan langkah-langkah berikut. Substitusikan $𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑐$ ke dalam prsamaan lingkaran $𝑥^2 + 𝑦^2 = 𝑟^2$, sehingga diperoleh $$\begin{align*} 𝑥^2 + (mx+c)^2 &= 𝑟^2\\𝑥^2 + m^2x^2+2mx+c^2 &= 𝑟^2\\ x^2+m^2x^2+2mcx+c^2-r^2 &= 0\\ (1+m^2)x^2+2mcx+c^2-r^2 &= 0 \end{align*}$$ Terlihat persamaan kuadrat dengan variabel $x$. Garis menyinggung lingkaran (memotong lingkaran pada satu titik) jika nilai diskriminan persamaan kuadrat di atas sama dengan $0$ $(D = b^2 - 4ac = 0)$. Diperoleh $a=1+m^2, b=2mc$ dan $c=c^2-r^2$. Oleh karena itu $$\begin{align*} D = 0\\b^2 - 4ac = 0\\ (2mc)^2 - 4(1+m^2)(c^2-r^2) = 0\\4m^2c^2 − 4 (c^2 + m^2c^2 − r^2 − m^2r^2)=0\\4m^2c^2 − 4c^2 − 4m^2c^2 + 4r^2 + 4m^2r^2 = 0\\− 4c^2 + 4r^2 + 4m^2r^2 = 0\\4c^2 = 4r^2 + 4m^2r^2\\ c^2 = r^2 + m^2r^2\\ c^2 = r^2(1 + m^2)\\ c=\pm r\sqrt{m^2+1} \end{align*}$$ Dari penjabaran diatas diperoleh :

1. Persamaan Garis Singgung dengan Gradien $m$(persamaan umum garis $y=mx+c$) terhadap Lingkaran $x^2 + y^2 = r^2$
   Persamaan garis singgungnya : $$\begin{align*}y = mx \plusmn r \sqrt{1 + m^2}\end{align*}$$

2. Persamaan Garis Singgung dengan Gradien $m$(persamaan umum garis $y-b=m(x-a)+c$) terhadap Lingkaran$(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$
   Persamaan garis singgungnya : $$\begin{align*}y - b = m(x-a) \plusmn r \sqrt{1 + m^2}\end{align*}$$

3. Persamaan Garis Singgung dengan Gradien $m$terhadap Lingkaran $x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0$
   Untuk persamaan lingkaran dalam bentuk umum $x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0$, maka terlebih dahulu diubah ke dalam bentuk baku $(𝑥 − 𝑎)^2 + (𝑦 − 𝑏)^2 = 𝑟^2$ atau langsung menentukan pusat lingkaran $(−\dfrac12 A,−\dfrac12 B )$ dan jari-jari $𝑟 = \sqrt{\dfrac14 A^2+\dfrac14 B^2 -C}$, kemudian menentukan persamaan garis singgungnya dengan rumus di atas.

Tambahan (hubungan antara dua garis)

Karena ada kaitannya dengan gradien, maka biasanya juga melibatkan hubungan antara dua garis. Misalkan $m_1$ adalah gradien garis $g_1$ dan $m_2$ adalah gradien garis $g_2$

• Dua garis sejajar atau Jika garis $g_1$ sejajar dengan garis $g_2$, maka gradiennya sama : $m_1 = m_2$
• Dua garis tegak lurus atau Jika garis $g_1$ tegak lurus dengan garis $g_2$ : $m_1 . m_2 = -1$

Contoh :

1. Tentukan persamaan garis singgung dengan gradien $\sqrt{8} \,$pada lingkaran $x^2 + y^2 = 16$!
   Penyelesaian :

   1. Menentukan unsur-unsur lingkaran :
      $x^2 + y^2 = 16,,$jari-jari : $r^2 = 16 \rightarrow r = 4$
   2. Menentukan PGS dengan gradien $m = \sqrt{8}$ $$\begin{align*} y &= mx \plusmn r \sqrt{1 + m^2} \\ y &= \sqrt{8}x \plusmn 4 \sqrt{1 + (\sqrt{8})^2} \\ y &= \sqrt{8}x \plusmn 4 \sqrt{1 + 8} \\ y &= \sqrt{8}x \plusmn 4 . 3\\ y &= \sqrt{8}x \plusmn 12 \end{align*}$$ Jadi, PGS nya adalah $y= \sqrt{8}x + 12$dan $y= \sqrt{8}x - 12$

2. Tentukan persamaan garis singgung yang sejajar dengan garis $y = 2x - 3 \,$pada lingkaran $(x-2)^2 + (y+1)^2 = 1$!
   Penyelesaian :

   1. Menentukan unsur-unsur lingkaran : $(x-2)^2 + (y+1)^2 = 1$, jari-jari : $r^2 = 1 \rightarrow r = 1$ Pusatnya : $(a,b) = (2, -1)$
   2. Menentukan gradien garis singgungnya Garis $y = 2x - 3 \rightarrow m_1 = 2$ Karena sejajar, maka gradiennya sama, sehingga $m = 2$
   3. Menentukan PGS dengan gradien $m = 2$ $$\begin{align*} y - b &= m(x-a) \plusmn r \sqrt{1 + m^2} \\ y - (-1) &= 2(x - 2) \plusmn 1. \sqrt{1 + 2^2} \\ y + 1 &= 2x - 4 \plusmn\sqrt{5} \\ y&= 2x - 4 - 1 \plusmn\sqrt{5} \\ y&= 2x - 5 \plusmn\sqrt{5} \end{align*}$$ Jadi, PGS nya adalah $y= 2x - 5 +\sqrt{5}$ dan $y= 2x - 5 -\sqrt{5}$

3. Tentukan persamaan garis singgung yang tegak lurus dengan garis $-3x + 4y - 1 = 0, \,$pada lingkaran $x^2 + y^2 + 4x - 2y + 1 = 0$!
   Penyelesaian :

   1. Menentukan unsur-unsur lingkaran : $x^2 + y^2 + 4x - 2y + 1 = 0,\rightarrow A = 4, B = -2, C = 1$ Pusatnya : $(a,b) = \left( -\frac{A}{2} , - \frac{B}{2} \right) = \left( -\frac{4}{2}, - \frac{-2}{2} \right) = (-2,1)$
      Jari-jari : $r = \sqrt{a^2 + b^2 - C} = \sqrt{(-2)^2 + 1^2 - 1} = 2$
   2. Menentukan gradien garis singgungnya Garis $-3x + 4y - 1 = 0\rightarrow m_1 = -\frac{-3}{4} = \frac{3}{4}$ Karena tegak lurus, maka $m.m_1 = -1 \rightarrow m . \frac{3}{4} = -1 \rightarrow m = - \frac{4}{3}$
   3. Menentukan PGS dengan gradien $m = - \frac{4}{3}$
      $$\begin{align*} y - b &= m(x-a) \plusmn r \sqrt{1 + m^2} \\ y - 1 &= - \frac{4}{3}.(x - (-2)) \plusmn 2. \sqrt{1 + (- \frac{4}{3})^2} \\ y - 1 &= - \frac{4}{3}.(x + 2) \plusmn 2 \sqrt{1 + \frac{16}{9}} \\ y - 1 &= - \frac{4}{3}x - \frac{8}{3} \plusmn 2 \sqrt{ \frac{25}{9}} \\ y - 1 &= - \frac{4}{3}x - \frac{8}{3} \plusmn 2 . \frac{5}{3} \\ y - 1 &= - \frac{4}{3}x - \frac{8}{3} \plusmn\frac{10}{3}\, \, \text{(kali 3)} \\ 3y - 3 &= - 4x - 8 \plusmn10 \\3y&= - 4x - 8 + 3 \plusmn10 \\ 3y&= - 4x - 5 \plusmn10 \\ \text{(PGS I) } : 3y&= - 4x - 5 +10 \\ 3y &= -4x + 5 \\ 4x + 3y &= 5\\ \text{(PGS II) } : 3y&= - 4x - 5 -10 \\ 3y &= -4x - 15 \\ 4x + 3y &= -15 \end{align*}$$ Jadi, PGS nya adalah $4x + 3y= 5 \,$dan $4x + 3y= -15$

3. Persamaan Garis Singgung Melalui Suatu Titik di Luar Lingkaran

Misalkan titik yang dilalui adalah titik D($x_d,y_d$) di luar lingkaran. Dari titik yang tersebut bisa ditarik dua garis singgung melalui titik pada lingkaran misalnya A($x_a,y_a$) dan titik B($x_b,y_b$).

Ada tiga cara menentukan persamaan garis singgungnya, yaitu :

1. Menggunakan diskriminan persamaan kuadrat sekutu.
   Langkah-langkah penyelesaian :
   1. Misalkan garis singggungnya $y-y_d = m(x-x_d)$ ,
   2. Substitusi titik D($x_d,y_d$) ke garis $y-y_d = m(x-x_d)$, terbentuk persamaan garis singgung baru.
   3. Substitusi garis yang baru ke persamaan lingkaran, lalu tentukan nilai diskriminannya ($D$).
   4. Tentukan nilai $m$ dengan syarat garis menyinggung lingkaran : $D = 0$.
   5. Substitusi nilai $m$ yang diperoleh ke garis baru yang terbentuk.
2. Menggunakan rumus persamaan garis singgung dengan gradien diketahui.
   Langkah-langkah penyelesaian :
   1. Misalkan garis singggungnya $y-y_d = m(x-x_d)$,
   2. Ingat garis singggung lingkaran dengan gradien $m$ adalah $y = mx \plusmn r \sqrt{1 + m^2}$ untuk pusat $P(0,0)$,
   3. samakan persamaan pada langkah 1 dan 2, maka diperoleh gradien $m$
   4. Substitusikan nilai $m$ ke dalam persamaan pada langkah 1
3. Menggunakan garis kutub (polar).
   Jika titik D($x_d, y_d$) di luar lingkaran ditarik dua buah garis singgung pada lingkaran dengan titik singgungnya A($x_a, y_a$) dan B($x_b, y_b$), maka persamaan garis AB disebut garis kutub pada lingkaran dan titik D($x_d, y_d$) disebut titik kutub. Garis singgung $g_1$ dan $g_2$ melalui titik $D(x_d,y_d)$, maka berlaku: $x_ax_d+y_ay_d=r^2$ dan $x_bx_d+y_by_d=r^2$ jika pusat lingkaran adalah $O(0,0)$. Dari dua persamaan di atas, dapat disimpulkan bahwa koordinat-koordinat titik $A(x_a,y_a)$ dan $B(x_b,y_b)$ memenuhi persamaan $x_dx+y_dy=r^2$.
   Dari uraian diatas dapat disimpulkan
   1. Persamaan garis kutub/polar dari titik $D(x_d,y_d)$ terhadap lingkaran $L:x^2+y^2=r^2$ adalah $$x_dx+y_dy=r^2$$
   2. Persamaan garis kutub/polar dari titik $D(x_d,y_d)$ terhadap lingkaran $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$, adalah $$(x_d-a)(x-a)+(y_d-b)(y-b)=r^2$$
   3. Persamaan garis kutub/polar dari titik $D(x_d,y_d)$ terhadap lingkaran $x^2+y^2+Ax+By+C=0$ adalah $$x_dx+y_dy+\frac{1}{2}A(x_d+x)+\frac{1}{2}B(y_d+y)+C=0$$ Untuk menyelesaikan persamaan garis singgung dengan menggunakan garis kutub ikuti langkah-langkah penyelesaian berikut :
   4. Membuat persamaan garis kutub dari titik D($x_d, y_d$) terhadap lingkaran.
   5. Substitusi garis kutub yang terbentuk ke persamaan lingkaran, lalu selesaikan untuk menentukan nilai $x \,$.
   6. Substitusi nilai $x$ atau $y$ yang diperoleh ke persamaan garis kutub untuk menentukan titik B dan C.
   7. Titik A dan B adalah titik pada lingkaran yang dilalui oleh garis singgung, selanjutnya gunakan cara menentukan persamaan garis singgung lingkaran melalui titik pada lingkaran.

Contoh

Tentukan persamaan garis singgung melalui titik (7, 1) di luar lingkaran $x^2 + y^2 = 25$!
Penyelesaian :
Cara I :Menggunakan diskriminan persamaan kuadrat sekutu.

• Titik (7, 1) berada di luar lingkaran $x^2 + y^2 = 25$sebab jika titik (7, 1) disubstitusikan ke persamaan lingkaran tersebut diperoleh $7^2+1^2 = 49 + 1 = 50 > 25$.
• Misalkan persamaan garis singgungnya : $y-y_1 = m(x-x_1)$
• Titik (7,1) dilalui oleh garis singgung, sehingga bisa disubstitusi ke garis singgung : $$\begin{align*} (x,y)=(7,1) \rightarrow y-y_1&= m(x-x_1)\\y-1 &= m(x-7)\\ y-1 &= mx-7m\\ y&=mx-7m+1…(1) \end{align*}$$
• Substitusi garis singgung baru (1) ke lingkaran : $$\begin{align*} y = mx-7m+1 \rightarrow x^2 + y^2 &= 25\\ x^2 + (mx-7m+1)^2 &= 25 \\ x^2 + m^2x^2 -49m^2+1-14m^2x+2mx-14m &= 25 \\(m^2+1)x^2 +(2m-14m^2)x + (-49m^2-14m-24) &= 0 \end{align*}$$ diperoleh $a = m^2 + 1, \, b = 2m - 14m^2 , \, c = -49m^2-14m-24$
• Menentukan nilai Diskriminan ($D$): $$\begin{align*} D &= b^2 - 4ac \\&= (2m-14m^2)^2 - 4.(m^2+1).(-49m^2-14m-24)\\&= 4m^2 - 56m^3 + 196m^4 - 4(49m^2 - 14m - 24 + 49m^4 - 14m^3 - 24m^2)\\&= -96m^2 + 56m + 96 \end{align*}$$
  • Agar garis menyinggung lingkaran, maka diskriminan persamaan kuadrat sekutu sama dengan nol $( D = 0 )$
    $$\begin{align*} D&=0 \\-96m^2 + 56m + 96&= 0 \, \, \, \, \text{(bagi -8)}\\12m^2 - 7m - 12 &= 0 \\(4m + 3)(3m - 4) &= 0\\ m = - \frac{3}{4} \vee m&=\frac{4}{3} \end{align*}$$
  • Substitusi nilai $m \,$ke garis singgung baru (1) : $$\begin{align*} m = - \frac{3}{4} \rightarrow y &= mx -7m+1\\ y &= - \frac{3}{4} . x -7.(- \frac{3}{4})+1\\ y &= - \frac{3}{4} . x + \frac{21}{4}+1\\ y &= - \frac{3}{4} . x +\frac{25}{4} \, \, \, \, \text{(kali 4)}\\4y &= -3x + 25 \\3x + 4y &= 25\\m = \frac{4}{3} \rightarrow y &= mx -7m+1\\ y &= \frac{4}{3} . x -7.(\frac{4}{3})+1\\ y &= \frac{4}{3} . x - \frac{28}{3}+1\\ y &= \frac{4}{3} . x - \frac{25}{3} \, \, \, \, \text{(kali 3)}\\3y &= 4x- 25 \\4x - 3y &= 25 \end{align*}$$ Jadi, PGS nya adalah $3x + 4y= 25$ dan $4x - 3y= 25$.

Cara II : Menggunakan rumus persamaan garis singgung dengan gradien diketahui.

• Persamaan garis singgung melalui titik P(7, 1) dimisalkan $$\begin{align*} y-y_1 &= m(x-x_1)\\y-1 &= m(x-7)\Leftrightarrow y=mx-7m+1….(1) \end{align*}$$
• Persamaan garis singgung lingkaran $x^2 + y^2 = 25$ dengan gradien $m$ diperoleh $r^2=25\Rightarrow r=5$ adalah
  $$\begin{align*} y &= mx \plusmn r \sqrt{1 + m^2}\\y &= mx \plusmn 5 \sqrt{1 + m^2}….(2) \end{align*}$$
• Selanjutnya ruas kanan persamaan (1) dan (2) disamakan, sehingga diperoleh $$\begin{align*} mx \plusmn 5 \sqrt{1 + m^2}&=mx-7m+1\\ \plusmn 5 \sqrt{1 + m^2}&=-7m+1…\text{dikuadratkan}\\ 25(1+m^2)&=49m^2-14m+1\\25+25m^2&=49m^2-14m+1\\24m^2-14m-24&=0…\text{bagi 2}\\12m^2-7m-12&=0\\(3m-4)(4m+3)&=0\\ m = \dfrac43 \vee m&= -\dfrac34 \end{align*}$$
• Selanjutnya nilai $m$ disubstitusikan ke dalam persamaan (2) sehingga diperoleh dua garis singgung seperti pada cara diskriminan, yaitu $$\begin{align*} m = - \frac{3}{4} \rightarrow y &= mx -7m+1\\ y &= - \frac{3}{4} . x -7.(- \frac{3}{4})+1\\ y &= - \frac{3}{4} . x + \frac{21}{4}+1\\ y &= - \frac{3}{4} . x +\frac{25}{4} \, \, \, \, \text{(kali 4)}\\4y &= -3x + 25 \\3x + 4y &= 25\\m = \frac{4}{3} \rightarrow y &= mx -7m+1\\ y &= \frac{4}{3} . x -7.(\frac{4}{3})+1\\ y &= \frac{4}{3} . x - \frac{28}{3}+1\\ y &= \frac{4}{3} . x - \frac{25}{3} \, \, \, \, \text{(kali 3)}\\3y &= 4x- 25 \\4x - 3y &= 25 \end{align*}$$ Jadi, PGS nya adalah $3x + 4y= 25$ dan $4x - 3y= 25$.

Cara III : Menggunakan garis kutub (polar)

• Menentukan persamaan garis kutub di titik (7,1) : $$\begin{align*} x_1x + y_1y &= r^2\\7.x + 1.y &= 25\\y &= 25 - 7x\\y &= 25 - 7x \end{align*}$$
• Substitusi $y = 25 - 7x$ ke $x^2 + y^2 = 25$ $$\begin{align*} x^2 + y^2 &= 25\\x^2 + (25 - 7x)^2 &= 25\\x^2 + 49x^2 - 350x + 625&= 25\\x^2 + 49x^2 - 350x + 600&= 0\\50x^2 - 350x + 600&= 0, \, \, \, \text{(bagi 50)} \\x^2 - 7x + 12&= 0 \\(x - 3 )(x - 4) &=0 \\
  x = 3\vee x&= 4 \end{align*}$$
• Menentukan titik singgungnya : $$\begin{align*} x = 3 \rightarrow y &= 25 - 7x\\ y &= 25 - 7.3\\ y &= 4\\x = 4 \rightarrow y &= 25 - 7x\\ y &= 25 - 7.4\\ y &= -3 \end{align*}$$ Titik singgungnya : $(3,4)$ dan $(4,-3)$ .
• Menentukan PGS dengan cara melalui titik pada linkaran titik $(x_1,y_1) = (3,4)$ $$\begin{align*} x^2 + y^2 &= 25\\x_1x + y_1y &= 25\\3x + 4y&=25 \end{align*}$$ titik $(x_1,y_1) = (4,-3)$ $$\begin{align*} x^2 + y^2 &= 25\\x_1x + y_1y &= 25\\4x -3y&=25 \end{align*}$$ Jadi, PGS nya adalah $3x + 4y= 25,$dan $4x - 3y= 25$.