Persamaan logaritma adalah persamaan yang numerusnya mengandung variabel dan tidak menutup kemungkinan bilangan pokok atau basisnya juga mengandung variabel.

Daftar Isi

Setelah sebelumnya belajar persamaan logaritma sederhana, kita lanjutkan pembahasantentang persamaan logaritma lanjut. Beberapabentuk yang akan kita bahas pada artikel ini.

Untuk $ a, b \in R , a > 0 , b > 0 , $ dan $ a \neq 1 , $ berlaku sifat-sifat persamaan logaritma berikut :

  1. $ {}^{h(x)} \log f(x) = {}^{h(x)} \log g(x) , $ maka $ f(x) = g(x) $
    dengan syarat : $ f(x) > 0, g(x) > 0 , h(x) > 0, $ dan $ h(x) \neq 1 $
  2. $ {}^{f(x)} \log b = {}^{g(x)} \log b , $ maka $ f(x) = g(x) $
    dengan syarat : $ b > 0 , f(x) > 0 , f(x) \neq 1, g(x) > 0 , $ dan $ g(x) \neq 1 $
  3. $ {}^{f(x)} \log h(x) = {}^{g(x)} \log h(x) , $ maka semua yang memenuhi
    1. $ f(x) = g(x) $
    2. $ h(x) = 1 $
      dengan syarat : $ h(x) > 0 , f(x) > 0 , f(x) \neq 1, g(x) > 0 , $ dan $ g(x) \neq 1 $
  4. Bentuk $A[^a\log x ]^2 + B[ ^a \log x ] + C = 0 $
    Solusinya dengan mengubah persamaan logaritma ke dalam bentuk persamaan kuadrat dengan memisalkan $^a\log x = P.$

Untuk lebih mudah dalam memahami sifat-sifat persamaan logaritma, mari kita lihat contoh-contoh soal berikut :

1. Bentuk $ {}^{h(x)} \log f(x) = {}^{h(x)} \log g(x)$

Contoh 1

Tentukan nilai $ x $ yang memenuhi persamaan
$ {}^{3x-5} \log (2x+1) = {}^{3x-5} \log (x+3) $ ?

Penyelesaian :
Berdasarkan sifat persamaan $ {}^{h(x)} \log f(x) = {}^{h(x)} \log g(x) $
Diketahui $h(x) = 3x-5, f(x) = 2x+1 $ dan $ g(x) = x+3 $
Maka $ f(x) = g(x) $ dan syarat $ f(x) > 0, g(x) > 0, h(x) > 0, h(x) \neq 1 $

$$\begin{align*} f(x) &= g(x) \\ 2x+1 &= x+3 \\ 2x - x &= 3-1 \\ x &= 2 \end{align*}$$

Cek syarat untuk $ x = 2 $
$ x = 2 \rightarrow h(x) = 3x-5 \rightarrow h(2) = 3.2 - 5 = 1 > 0 $
Karena untuk $ x = 2 , $ diperoleh nilai $ h(x) = 1 , $ sementara syaratnya haruslah $ h(x) \neq 1 , $ ini artinya $ x = 2 $ tidak memenuhi syarat.
Sehingga tidak ada nilai $ x $ yang memenuhi persamaan logaritma tersebut (tidak ada solusi atau jawabannya himpunan kosong).
Catatan : Nilai $ x $ yang diperoleh harus memenuhi semua syarat yang ada, jika salah satu saja ada syarat yang tidak terpenuhi, maka bisa dikatakan nilai $ x $ tersebut gagal menjadi solusi persamaan logaritmanya.
Jadi, tidak ada nilai $ x $ yang memenuhi persamaan. $ \heartsuit $

2. Bentuk $ {}^{f(x)} \log b = {}^{g(x)} \log b$

Contoh 2

Tentukan nilai $ x $ yang memenuhi persamaan $ {}^{x^2 + 6x} \log (\frac{1}{3}) = {}^{2x+5} \log (\frac{1}{3}) $ ?

Penyelesaian :
Berdasarkan sifat persamaan $ {}^{f(x)} \log b = {}^{g(x)} \log b $
Diketahui: $ f(x) = x^2 + 6x $ dan $ g(x) = 2x+5 $
Maka $ f(x) = g(x) $ dan syarat $ f(x) > 0 , f(x) \neq 1, g(x) > 0, f(x) \neq 1 $
Solusi $$\begin{align*} f(x) &= g(x) \\ x^2 + 6x &= 2x+5 \\ x^2 + 4x - 5 &= 0 \\ (x-1)(x+5) &= 0 \\ x = 1 \vee x &= -5 \end{align*}$$

Cek syarat untuk $ x = 1 $ dan $ x = -5 $

  • Untuk $ x = 1 $
    $ f(x) = x^2 + 6x \rightarrow f(1) = 1^2 + 6.1 = 7 > 0 $
    $ g(x) = 2x+5 \rightarrow g(1) = 2.1+5 = 7 > 0 $
    nilai $ x = 1 $ memenuhi syarat.
  • Untuk $ x = -5 $
    $ f(x) = x^2 + 6x \rightarrow f(-5) = (-5)^2 + 6.(-5) = -5 < 0 $
    $ g(x) = 2x+5 \rightarrow g(1) = 2.(-5)+5 = -5 < 0 $
    nilai $ x = -5 $ tidak memenuhi syarat.

Sehingga yang memenuhi syarat adalah $ x = 1 $ .
Jadi, nilai $ x = 1 $ yang memenuhi persamaan. $ \heartsuit $

3. Bentuk $ {}^{f(x)} \log h(x) = {}^{g(x)} \log h(x)$

Contoh 3

Tentukan nilai $ x $ yang memenuhi persamaan
$ {}^{2x^2-3x+1} \log (2x-1) = {}^{x^2+2x-5} \log (2x-1) $ ?

Penyelesaian : Berdasarkan sifat persamaan $ {}^{f(x)} \log h(x) = {}^{g(x)} \log h(x) $
Diketahui: $h(x) = 2x-1, f(x) = 2x^2-3x+1 $ dan $ g(x) = x^2+2x-5 $
Maka $ f(x) = g(x) $ dan $ h(x) = 1 , $
dengan syarat $ h(x) > 0 , f(x) > 0 , f(x) \neq 1, g(x) > 0 , $ dan $ g(x) \neq 1 $

  • Solusi pertama :
    $$\begin{align*} f(x) &= g(x) \\ 2x^2-3x+1 &= x^2+2x-5 \\ x^2 - 5x + 6 &= 0 \\ (x-2)(x-3) &= 0 \\ x = 2 \vee x &= 3 \end{align*}$$ Cek untuk nilai $ x = 2 $ dan $ x = 3 $
    untuk $ x = 2 $
    $ h(x) = 2x-1 \rightarrow h(2) = 2.2 - 1 = 3 $ (memenuhi)
    $ f(x) = 2x^2-3x+1 \rightarrow f(2) = 2.2^2-3.2+1 = 3 $ (memenuhi)
    $ g(x) = x^2+2x-5 \rightarrow g(2) = 2^2+2.2-5 = 3 $ (memenuhi)
    untuk $ x = 3 $
    $ h(x) = 2x-1 \rightarrow h(3) = 2.3 - 1 = 5 $ (memenuhi)
    $ f(x) = 2x^2-3x+1 \rightarrow f(3) = 2.3^2-3.3+1 = 10 $ (memenuhi)
    $ g(x) = x^2+2x-5 \rightarrow g(2) = 3^2+2.3-5 = 10 $ (memenuhi)
    Artinya untuk nilai $ x = 2 $ dan $ x = 3 $ memenuhi syarat sebagai solusi dari persamaannya.
  • Solusi kedua : $ h(x) = 1 $
    $$\begin{align*} h(x) &= 1 \\ 2x-1 &= 1 \\ 2x &= 2 \\ x &= 1 \end{align*}$$ Cek untuk nilai $ x = 1 $
    untuk $ x = 2 $
    $ f(x) = 2x^2-3x+1 \rightarrow f(1) = 2.1^2-3.1+1 = 1 $ (TM)
    $ g(x) = x^2+2x-5 \rightarrow g(1) = 1^2+2.1-5 = -2 $ (TM)
    Artinya nilai $ x = 1 $ tidak memenuhi syarat atau nilai $ x = 1 $ tidak sebagai solusi dari persamaan.
    Jadi, penyelesaiannya adalah $ x = 2 $ dan $ x = 3 . \heartsuit $

4. Bentuk $A[^a\log x ]^2 + B[ ^a \log x ] + C = 0 $

Contoh 4

Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan
$^3 \log^2 x –^3 \log x^5 + 4 = 0 $

Penyelesaian :
$$\begin{align*} ^3 \log^2 x – ^3 \log x^5 + 4 = 0 \\ (^3\log x)^2 – 5. (^3\log x) + 4 = 0 \\ \text{Misalkan} ^3\log x=P \text{ maka} \\ P^2-5P+4=0 \\ (P-4)(P-1)=0 \end{align*}$$

$$ P=4 \text{ atau } P=1 \\ {}^3\log x=4 \text{ atau } ^3\log x=1 \\ x=3^4 \text{ atau } x=3^1\\ x=81 \text{ atau } x=1 $$ Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah { 3, 81 }