Pertidaksamaan logaritma adalah pertidaksamaan yang numerusnya mengandung variabel, dan tidak menutup kemungkinan bilangan pokoknya juga mengandung variabel serta berkaitan langsung dengan tanda ketaksamaan yaitu $<, >, \le, \ge $.
Pada artikel kali ini kita akan membahas pertidaksamaan logaritam bentuk sederhana. Untuk pertidaksamaan logaritma yang lebih sulit bisa teman-teman langsung lihat pada kumpulan soal-soal logaritma beserta dengan pembahasannya. Pertidaksamaan logaritma sederhana, misalnya bentuknya $ ^a \log f(x) \geq ^a \log g(x) $, penyelesaiannya bergantung pada nilai basisnya $(a)$ dan untuk menyelesaikannya teman-teman harus menguasai terlebih dahulu sifat-sifat logaritma↝ dengan baik.
Untuk menyelesaikan pertidaksamaan logaritma, kita dapat menggunakan sifat fungsi logaritma yaitu monoton naik dan monoton turun. Sifat-sifat tersebut dapat kita deskripsikan sebagai berikut.
Konsep Dasar Pertidaksamaan Eksponen
Fungsi Monoton Naik
untuk basis $a>1$, tanda ketaksamaannya tetap (tidak berubah)
a. Jika $^a\log f(x)\le {}^a\log g(x)$ maka $f(x)\le g(x)$ dengan syarat $f(x)>0$ dan $g(x)>0$
b. Jika $^a\log f(x)\ge {}^a\log g(x)$ maka $f(x)\ge g(x)$ dengan syarat $f(x)>0$ dan $g(x)>0$Fungsi Monoton Turun
untuk basis $0<a<1$, tanda ketaksamaannya dibalik (berubah)
a. Jika $^a\log f(x)\le {}^a\log g(x)$ maka $f(x)\ge g(x)$ dengan syarat $f(x)>0$ dan $g(x)>0$
b. Jika $^a\log f(x)\ge {}^a\log g(x)$ maka $f(x)\le g(x)$ dengan syarat $f(x)>0$ dan $g(x)>0$
Penyelesaian Pertidaksamaan Logaritma mengikuti penyelesaian pertidaksamaan secara umum dengan tahap-tahap yaitu
- menentukan akar-akarnya,
- menentukan garis bilangan dan tandanya,
- mengarsir daerah yang diminta berdasarkan tanda ketaksamaannya.
Untuk menentukan akar-akar pertidaksamaan logaritma, kita ubah menjadi bentuk persamaan logaritma.
catatan: Ruas kiri dan kanan tanda ketaksamaan harus memuat bentuk logaritma dengan nilai basis (bilangan pokok) yang sama.
Contoh Soal 1
Tentukan himpunan penyelesaian dari $^3\log (3x-2)<{}^3\log 7$
Alternatif Penyelesaian
- Diketahui $f(x)=3x-2$, $g(x)=7$, dan nilai basisnya 2, maka solusi tanda ketaksamaannya tetap
- Solusi Pertidaksamaan
$$\begin{align*}f(x)&<g(x)\\3x-2&<7\\3x&<9\\x&<3\end{align*}$$ Maka solusi pertama $x<3$ - Syarat Numerus
$$3x-2>0\\3x>2\\x>\frac{2}{3}$$
Maka solusi kedua $x>\frac{2}{3}$
Selanjutnya kita buat garis bilangan dan mencari irisan dari kedua solusi tersebut
Jadi, himpunan penyelesaian adalah $\Set{ x| \frac{2}{3}<x<3, x\in R } $
Contoh Soal 2
Tentukan Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $ {}^3 \log (5x-3) \ge 3 $
Penyelesaian :
Diketahui Nilai basisnya $(a =3)$ lebih dari 1, sehingga solusinya tanda ketaksamaan tetap
- Solusi Pertidaksamaan
Memodifikasi soal agar kedua ruas memuat bentuk logaritma
$$\begin{align*} {}^3 \log (5x-3) &\ge 3 \\ {}^3 \log (5x-3) &\ge {}^2 \log 3^3 \\ {}^3 \log (5x-3) &\ge {}^2 \log 27 \\ \text{(basisnya } a &= 3 >1 , \text{ dicoret, tanda tetap)}\\ (5x-3) &\ge 27 \\ 5x &\ge 30 \\ x &\ge 6 \end{align*} $$
Solusi pertama HP1=$ \set{ x\ge6 } $ - Syarat Numerus
$$\begin{align*}(5x-3) &> 0 \\ 5x &> 3 \\ x &>\frac{3}{5} \end{align*} $$
Solusi Kedua HP2 = $ \set{ x >\frac{3}{5} } $
Selanjutnya kita buat garis bilangan dan mencari irisan dari kedua solusi tersebut. Sehingga solusinya :
Jadi, solusinya HP = $ \set{x | x \ge 6 } $
Contoh Soal 3
Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $ {}^\frac{1}{3} \log (3x-5) \geq {}^\frac{1}{3} \log (x+1) $ ?
Penyelesaian :
Diketahui Nilai basisnya $(a=\frac{1}{3})$ kurang dari 1, sehingga solusinya tanda ketaksamaannya dibalik.
- Solusi Pertidaksamaan
$$\begin{align*} {}^\frac{1}{3} \log (3x-5) &\geq {}^\frac{1}{3} \log (x+1) \\ \text{(basisnya } a = \frac{1}{3} &> 1 , \text{ ketaksamaan dibalik)} \\ (3x-5) & \leq (x+1) \\ 3x-x & \leq 1+5\\ 2x & \leq 6 \\ x & \leq 3 \end{align*} $$
HP1 = $ \set{ x | x \leq 3 } $ - Syarat Numerus
Syarat numerus 1
$$\begin{align*} (3x-5) &> 0 \\ 3x &> 5 \\ x &> \frac{5}{3} \text{….(HP2)} \end{align*}$$
Syarat numerus 2
$$\begin{align*} (x+1) &> 0 \\ x &> -1 \text{….(HP3)} \end{align*}$$
Selanjutnya kita buat garis bilangan dan mencari irisan dari kedua solusi atau ketiga HP diatas. Sehingga solusinya :
HP = $ HP1 \cap HP2 \cap HP3 = \Set{ x|\frac{5}{3} < x \leq 3 } $
Jadi, solusinya HP = $ \Set{ x| \frac{5}{3} < x \leq 3 } $
Contoh Soal 4
Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $ {}^\frac{1}{2} \log (x^2-4x-21) \geq {}^\frac{1}{2} \log (2x-5) $ ?
Penyelesaian :
Diketahui Nilai basisnya $(a=\frac{1}{3})$ kurang dari 1, sehingga solusinya tanda ketaksamaannya dibalik.
- Solusi Pertidaksamaan
$$\begin{align*} {}^\frac{1}{2} \log (x^2-4x-21) &\geq {}^\frac{1}{2} \log (2x-5) \\ \text{(basisnya } a = \frac{1}{2} &> 1 , \text{ ketaksamaan dibalik)} \\ (x^2-4x-21) & \leq (2x-5) \\ x^2-6x-16 & \leq 0\\ (x-8)(x+2) & \leq 0 \end{align*} $$ buat nilai $x$ menjadi = dulu untuk menentukan HP1 dengan garis bilangan $$ x=8 \text{ atau } x=-2$$ diperoleh garis bilangan
sehingga HP1 = $ \set{ x | -2\leq x \leq 8 } $ - Syarat Numerus
Syarat numerus 1
$$\begin{align*} (x^2-4x-21) &> 0 \\ (x-7)(x+3) &> 0 \end{align*}$$ buat nilai $x$ menjadi = dulu untuk menentukan HP2 dengan garis bilangan $$ x=7 \text{ atau } x=-3$$ diperoleh garis bilangan
sehingga HP2 = $ \set{ x | x <-3 \text{ atau } x > 7 } $
**Syarat numerus 2**
$$\begin{align*} (2x-5) &> 0 \\ x &> \frac52 \text{….(HP3)} \end{align*}$$
Selanjutnya kita buat garis bilangan dan mencari irisan dari kedua solusi atau ketiga HP diatas. Sehingga solusinya :
sehingga HP1 = $ \set{ x | -2\leq x \leq 8 } $
sehingga HP2 = $ \set{ x | x <-3 \text{ atau } x > 7 } $
HP = $ HP1 \cap HP2 \cap HP3 = \Set{ x| 7 < x \leq 8 } $
Jadi, solusinya HP = $ \Set{ x| 7 < x \leq 8 } $
Pertidaksamaan Logaritma tidaklah sulit, kita harus ingat dengan masing-masing syarat yang ada pada logaritma. Semua syarat tersebut harus kita selesaikan karena juga menjadi solusi bersama. Teman-teman juga harus bisa menggunakan garis bilangan untuk mencari himpunan penyelesaiannya.