Rumus Dan Contoh Dilatasi Dalam Transformasi Geometri | SMA Kelas XI

Pelajari dilatasi dalam transformasi geometri! Kuasai rumus dan contoh soal. Materi ini dirancang khusus untuk siswa SMA Kelas XI dan guru matematika.

Hai Sobat Sinmat, Pernah terpukau melihat detail foto close-up serangga? Bingung membaca peta kota yang luas? Dilatasi, sang “pahlawan tak diduga” dalam matematika, berperan penting di baliknya!

Bagi kamu siswa SMA Kelas XI yang sedang belajar Transformasi Geometri, materi ini wajib dikuasai! Dilatasi tak hanya mengesankan tapi juga banyak diaplikasikan di berbagai bidang lho.

Dilatasi itu Apa?

Dilatasi adalah transformasi yang bisa memperbesar atau memperkecil suatu bangun datar secara proporsional, seperti lensa kamera yang memperbesar objek tanpa mengubah bentuknya.

Dilatasi bukan hanya konsep matematika, tetapi jembatan menuju dunia transformasi yang menakjubkan! Kuasai konsepnya dan perdalam wawasan Anda dalam melihat dunia yang bisa diperbesar atau diperkecil.

Sebelum memulai, pastikan kamu sudah familiar dengan:

• Transformasi Geometri: Pengenalan konsep dasar.
• Sistem Koordinat Kartesius: Titik acuan untuk perhitungan.
• Operasi Hitung Matriks: Alat bantu untuk menyelesaikan soal rotasi.

Yuk jika kamu sudah familiar mari kita mulai..

1. Pengertian Dilatasi

Dilatasi adalah transformasi geometri yang memperbesar atau memperkecil suatu bangun geometri tanpa mengubah bentuknya. Titik acuan yang digunakan untuk memperbesar atau memperkecil bangun geometri disebut pusat dilatasi. Faktor yang menentukan perbesaran atau pengecilan bangun geometri disebut faktor skala.

Sifat-sifat dilatasi:

• Garis lurus yang didilatasi akan menghasilkan garis lurus.
• Sudut yang didilatasi tidak berubah besarnya.
• Luas bangun datar yang didilatasi akan berubah dengan faktor skala dikuadratkan.
• Volume bangun ruang yang didilatasi akan berubah dengan faktor skala pangkat tiga.

Bangun yang diperbesar atau diperkecil (dilatasi) dengan skala 𝑘 dapat mengubah ukuran atau tetap ukurannya tetapi tidak mengubah bentuk.

• Jika 𝑘 > 1 maka bangun akan diperbesar dan terletak searah terhadap sudat dilatasi dengan bangun semula
• Jika 𝑘 = 1 maka bangun tidak mengalami perubahan ukuran dan letak
• Jika 0 < 𝑘 < 1 maka bangun akan diperkecil dan terletak searah terhadap pusat dilatasi dengan bangun semula.
• Jika −1 < 𝑘 < 0 maka bangun akan diperkecil dan terletak berlawanan arah terhadap pusat dilatasi dengan bangun semula
• Jika 𝑘 = −1 maka bangun tidak akan mengalami perubahan bentuk dan ukuran dan terletak berlawanan arah terhadap pusat dilatasi dengan bangun semula.
• Jika 𝑘 < −1 maka bangun akan diperbesar dan terletak berlawanan arah terhadap pusat dilatasi dengan bangun semula.

2. Menentukan Dilatasi Titik pada Pusat (0, 0)

Perhatikan gambar berikut

Jika suatu titik $P(x, y)$ didilatasi dengan pusat dilatasi $(0, 0)$ dan faktor skala $k$, maka bayangannya $P'(x', y')$ dihitung dengan rumus berikut:

$$x' = kx \quad \text{dan} \quad y' = ky$$

Contoh:

Titik $P(2, 3)$ didilatasi dengan pusat dilatasi $(0, 0)$ dan faktor skala 3. Bayangan titik $P$ adalah $P'(x', y')$. Hitunglah koordinat $P'$.

Penyelesaian:

Berdasarkan rumus dilatasi, maka:

$$x' = 3 \cdot 2 = 6$$

$$y' = 3 \cdot 3 = 9$$

Jadi, koordinat bayangan titik $P'$ adalah $(6, 9)$.

3. Menentukan Dilatasi Kurva pada Pusat (0, 0)

Jika suatu kurva $y = f(x)$ didilatasi dengan pusat dilatasi $(0, 0)$ dan faktor skala $k$, maka bayangan kurvanya $y' = f'(x)$ dihitung dengan rumus berikut:

$$y' = k \cdot f(x)$$

Contoh:

Kurva $y = x^2$ didilatasi dengan pusat dilatasi $(0, 0)$ dan faktor skala 2. Bayangan kurvanya $y'$ adalah $y' = f'(x)$. Hitunglah persamaan $y'$.

Penyelesaian:

Berdasarkan rumus dilatasi kurva, maka:

$$y' = 2 \cdot x^2$$

Jadi, persamaan bayangan kurvanya adalah $y' = 2x^2$.

4. Menentukan Dilatasi Titik pada Pusat (𝑎, 𝑏)

Perhatikan gambar berikut

Jika suatu titik $P(x, y)$ didilatasi dengan pusat dilatasi $(𝑎, 𝑏)$ dan faktor skala $k$, maka bayangannya $P'(x', y')$ dihitung dengan rumus berikut:

$$x' = k(x - a) + a \quad \text{dan} \quad y' = k(y - b) + b$$

Contoh:

Titik $P(2, 3)$ didilatasi dengan pusat dilatasi $(1, 2)$ dan faktor skala 2. Bayangan titik $P$ adalah $P'(x', y')$. Hitunglah koordinat $P'$.

Penyelesaian:

Berdasarkan rumus dilatasi, maka:

$$x' = 2(2 - 1) + 1 = 3$$

$$y' = 2(3 - 2) + 2 = 4$$

Jadi, koordinat bayangan titik $P'$ adalah $(3, 4)$.

5. Menentukan Dilatasi Kurva pada Pusat (𝑎, 𝑏)

Jika suatu kurva $y = f(x)$ didilatasi dengan pusat dilatasi $(𝑎, 𝑏)$ dan faktor skala $k$, maka bayangan kurvanya $y' = f'(x)$ dihitung dengan rumus berikut:

$$y' = k \cdot [f(x - a) + b]$$

Contoh:

Kurva $y = x^2$ didilatasi dengan pusat dilatasi $(1, 2)$ dan faktor skala 2. Bayangan kurvanya $y'$ adalah $y' = f'(x)$. Hitunglah persamaan $y'$.

Penyelesaian:

Berdasarkan rumus dilatasi kurva, maka:

$$y' = 2 \cdot [x^2 - (1) + 2]$$

$$y' = 2x^2 + 2$$

Jadi, persamaan bayangan kurvanya adalah $y' = 2x^2 + 2$.

Demikian yang dapat mimin berikan Ingat!

• Jangan sungkan bertanya jika kamu butuh bantuan.
• Praktek langsung untuk kuasai konsep Dilatasi!