kali ini akan di bahas Rumus Jumlah Dan Selisih Dua Sudut pada Trigonometri yaitu sinus beserta bukti dan contoh soal
Daftar Isi
Setelah sebelumnya kita membahas tentang jumlah dan selisih dua sudut untuk cosinus pada trigonometri, pembahasan kali ini kita lanjutkan untuk jumlah dan selisih sudut pada sinus. Jika belum memahami materi sebelumnya silahkan dipelajari ya. Mudah kok sebenarnya jika kita mau belajar dan berlatih. baca sebelumnya Rumus Jumlah dan Selisih Dua Sudut pada Trigonometri (part 1) Cosinus↝
2. Rumus untuk $\sin(\alpha+\beta)$ dan $\sin(\alpha-\beta)$
Rumus Jumlah dan Selisih dua sudut untuk sinus
$$ \begin{align*} \sin ( \alpha + \beta ) &= \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta \\ \sin ( \alpha - \beta ) &= \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta \end{align*}$$
Untuk membuktikan rumus $sin(\alpha+\beta)$ dan $sin(\alpha-\beta)$diatas kita cukup menggunakan sifat relasi sudut di kuadran I dari pembuktian $cos(\alpha+\beta)$ diatas. Sebenarnya ada cara lain yaitu dengan menggunakan luas segitiga. Namun, kali ini kita gunakan relasi sudut di kuadran I saja.
Ingat relasi sudut $\sin A=\cos (90^\circ-A)$
Bukti rumus $ \sin(\alpha + \beta ) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta $
$$ \begin{align*} \sin ( \alpha + \beta ) &= \cos [90^\circ - ( \alpha + \beta )] \\ &= \cos [90^\circ - \alpha - \beta ] \\ &= \cos [(90^\circ - \alpha) - \beta ] \\ &= \cos (90^\circ - \alpha) \cos \beta + \sin (90^\circ - \alpha) \sin \beta \\ \sin ( \alpha + \beta ) &= \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta \end{align*} $$ Jadi, terbukti : $ \sin ( \alpha + \beta ) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta $
Bukti rumus $ \sin(\alpha - \beta ) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta $
$$ \begin{align*} \sin ( \alpha - \beta ) &= \sin ( \alpha +(-\beta))\\ &= \sin \alpha \cos (-\beta ) + \cos \alpha \sin ( - \beta ) \\ &= \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha . (- \sin \beta ) \\ \sin ( \alpha - \beta ) &= \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta \end{align*} $$ Jadi, terbukti : $ \sin ( \alpha - \beta ) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta $
Contoh Soal Trigonmetri Jumlah dan Selisih Dua Sudut Sinus
1). Tentukan nilai dari $\sin 15^\circ$
Alternatif Penyelesaian
Gunakan rumus $\sin (a-b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b$.
$$\begin{align*} \sin 15^\circ & = \sin (45^\circ - 30^\circ) \\ & = \sin 45^\circ \cos 30^\circ - \cos 45^\circ \sin 30^\circ \\ & = \frac{1}{2}\sqrt{2} . \frac{1}{2}\sqrt{3} + \frac{1}{2}\sqrt{2} . \frac{1}{2} \\ & = \frac{1}{4}\sqrt{6}- \frac{1}{4}\sqrt{2} \\ & = \frac{1}{4}\left( \sqrt{6} -\sqrt{2}\right ) \\ & = \frac{1}{4}\sqrt{2} (\frac{1}{2}\sqrt{3} - 1) \end{align*} $$
Jadi, nilai dari $\sin 15^\circ$ adalah $\frac{1}{4}\sqrt{2} (\frac{1}{2}\sqrt{3} - 1)$
2). Tentukan nilai dari $\sin 75^\circ$
Alternatif Penyelesaian
Gunakan rumus $\sin (a+b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b$.
$$\begin{align*} \sin 75^\circ & = \sin (45^\circ + 30^\circ) \\ & = \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ \\ & = \frac{1}{2}\sqrt{2}. \frac{1}{2}\sqrt{3} + \frac{1}{2}\sqrt{2} . \frac{1}{2} \\ & = \frac{1}{4}\sqrt{6}+ \frac{1}{4}\sqrt{2} \\ & = \frac{1}{4}\left( \sqrt{6} +\sqrt{2}\right ) \\ & = \frac{1}{4}\sqrt{2} (\frac{1}{2}\sqrt{3}+1) \end{align*} $$
Jadi, nilai dari $\sin 75^\circ$ adalah $\frac{1}{4}\sqrt{2} (\frac{1}{2}\sqrt{3}+1)$
3). Tentukan nilai dari $\sin 64^\circ \cos 56^\circ + \cos 64^\circ \sin 41^\circ$
Alternatif Penyelesaian
Gunakan rumus $ \sin a \cos b + \cos a \sin b=\sin (a+b)$.
$$\begin{align*} \sin 64^\circ \cos 56^\circ + \cos 64^\circ \sin 56^\circ & = \sin (64^\circ+56^\circ)\\ &= \sin 120^\circ=\sin 30^\circ \\ &= \frac{1}{2}\end{align*} $$
Jadi, nilai dari nilai dari $\sin 64^\circ \cos 56^\circ + \cos 64^\circ \sin 41^\circ$ adalah $\dfrac{1}{2}$.
4). Diketahui Diketahui $\sin p =\dfrac35$ dan $\cos q = \dfrac{12}{13}$ ($p$ di kuadran III dan $q$ sudut lancip). Tentukan nilai dari $\sin(p+q)$!
Alternatif Penyelesaian
Gunakan rumus $ \sin (p+q)=\sin p \cos q + \cos p \sin q$.
sin $p$ dan cos $q$ telah diketahui, sehingga kita perlu menentukan $\cos p$ dan $\sin q$ terlebih dahulu dengan menggunakan rumus identitas $\sin^2 p+\cos^2q=1$ atau bisa juga dengan menggambar segitiga.
Dari Identitas $\sin^2 p+\cos^2q=1$,
*) maka $\cos^2 p=1-\sin^2q$.
$$\begin{align*}\cos^2 p&=1-\sin^2p\\ \cos p&=-\sqrt{1-\sin^2p} \text{ … }p \text { dikuadran III, maka } \cos p \text{ negatif}\\ &=-\sqrt{1-\left(\frac35\right)^2}\\ &=-\sqrt{1-\frac{9}{25}}\\ &=-\sqrt{\frac{25}{25}-\frac{9}{25}}=-\sqrt{\frac{16}{25}}\\ \cos p&=-\frac{4}{5}\end{align*}$$
*) selanjutnya $\sin^2 q=1-\cos^2q$.
$$\begin{align*}\sin^2 q&=1-\cos^2q\\ \sin q&=+\sqrt{1-\cos^2q} \text{ … }q \text { lancip, maka } \sin q \text{ positif}\\ &=+\sqrt{1-\left(\frac{12}{13}\right)^2}\\ &=+\sqrt{1-\frac{144}{169}}\\ &=\sqrt{\frac{169}{169}-\frac{144}{169}}=\sqrt{\frac{25}{169}}\\ \sin q&=\frac{5}{13}\end{align*}$$
*) mengitung nilai $\sin (p+q)$
$$\begin{align*} \sin (x+y)&=\sin p \cos q + \cos p \sin q \\ &=\left(\frac{3}{5}\right)\left(\frac{12}{13}\right) + \left(-\frac{4}{5}\right)\left(\frac{5}{13}\right) \\ &=\frac{36}{65} - \frac{20}{65} \\ &=\frac{16}{65} \end{align*}$$ Jadi, nilai dari $\sin(p+q)=\dfrac{16}{65}$
Apa selanjutnya?
yuk pelajari Rumus Jumlah dan Selisih Dua Sudut pada Tangen↝