kali ini akan di bahas Rumus Jumlah Dan Selisih Dua Sudut pada Trigonometri yaitu sinus beserta bukti dan contoh soal

Daftar Isi

Setelah sebelumnya kita membahas tentang jumlah dan selisih dua sudut untuk cosinus pada trigonometri, pembahasan kali ini kita lanjutkan untuk jumlah dan selisih sudut pada sinus. Jika belum memahami materi sebelumnya silahkan dipelajari ya. Mudah kok sebenarnya jika kita mau belajar dan berlatih. baca sebelumnya Rumus Jumlah dan Selisih Dua Sudut pada Trigonometri (part 1) Cosinus↝

2. Rumus untuk sin⁡(α+β)\sin(\alpha+\beta) dan sin⁡(α−β)\sin(\alpha-\beta)

Untuk membuktikan rumus sin(α+β)sin(\alpha+\beta) dan sin(α−β)sin(\alpha-\beta)diatas kita cukup menggunakan sifat relasi sudut di kuadran I dari pembuktian cos(α+β)cos(\alpha+\beta) diatas. Sebenarnya ada cara lain yaitu dengan menggunakan luas segitiga. Namun, kali ini kita gunakan relasi sudut di kuadran I saja.

Ingat relasi sudut sin⁡A=cos⁡(90∘−A)\sin A=\cos (90^\circ-A)

Bukti rumus sin⁡(α+β)=sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡β \sin(\alpha + \beta ) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta

sin⁡(α+β)=cos⁡[90∘−(α+β)]=cos⁡[90∘−α−β]=cos⁡[(90∘−α)−β]=cos⁡(90∘−α)cos⁡β+sin⁡(90∘−α)sin⁡βsin⁡(α+β)=sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡β \begin{align*} \sin ( \alpha + \beta ) &= \cos [90^\circ - ( \alpha + \beta )] \\ &= \cos [90^\circ - \alpha - \beta ] \\ &= \cos [(90^\circ - \alpha) - \beta ] \\ &= \cos (90^\circ - \alpha) \cos \beta + \sin (90^\circ - \alpha) \sin \beta \\ \sin ( \alpha + \beta ) &= \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta \end{align*} Jadi, terbukti : sin⁡(α+β)=sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡β \sin ( \alpha + \beta ) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta

Bukti rumus sin⁡(α−β)=sin⁡αcos⁡β−cos⁡αsin⁡β \sin(\alpha - \beta ) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta

sin⁡(α−β)=sin⁡(α+(−β))=sin⁡αcos⁡(−β)+cos⁡αsin⁡(−β)=sin⁡αcos⁡β+cos⁡α.(−sin⁡β)sin⁡(α−β)=sin⁡αcos⁡β−cos⁡αsin⁡β \begin{align*} \sin ( \alpha - \beta ) &= \sin ( \alpha +(-\beta))\\ &= \sin \alpha \cos (-\beta ) + \cos \alpha \sin ( - \beta ) \\ &= \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha . (- \sin \beta ) \\ \sin ( \alpha - \beta ) &= \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta \end{align*} Jadi, terbukti : sin⁡(α−β)=sin⁡αcos⁡β−cos⁡αsin⁡β \sin ( \alpha - \beta ) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta

Contoh Soal Trigonmetri Jumlah dan Selisih Dua Sudut Sinus

1). Tentukan nilai dari sin⁡15∘\sin 15^\circ
Alternatif Penyelesaian
Gunakan rumus sin⁡(a−b)=sin⁡acos⁡b+cos⁡asin⁡b\sin (a-b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b. sin⁡15∘=sin⁡(45∘−30∘)=sin⁡45∘cos⁡30∘−cos⁡45∘sin⁡30∘=122.123+122.12=146−142=14(6−2)=142(123−1)\begin{align*} \sin 15^\circ & = \sin (45^\circ - 30^\circ) \\ & = \sin 45^\circ \cos 30^\circ - \cos 45^\circ \sin 30^\circ \\ & = \frac{1}{2}\sqrt{2} . \frac{1}{2}\sqrt{3} + \frac{1}{2}\sqrt{2} . \frac{1}{2} \\ & = \frac{1}{4}\sqrt{6}- \frac{1}{4}\sqrt{2} \\ & = \frac{1}{4}\left( \sqrt{6} -\sqrt{2}\right ) \\ & = \frac{1}{4}\sqrt{2} (\frac{1}{2}\sqrt{3} - 1) \end{align*} Jadi, nilai dari sin⁡15∘\sin 15^\circ adalah 142(123−1)\frac{1}{4}\sqrt{2} (\frac{1}{2}\sqrt{3} - 1)

2). Tentukan nilai dari sin⁡75∘\sin 75^\circ
Alternatif Penyelesaian
Gunakan rumus sin⁡(a+b)=sin⁡acos⁡b+cos⁡asin⁡b\sin (a+b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b. sin⁡75∘=sin⁡(45∘+30∘)=sin⁡45∘cos⁡30∘+cos⁡45∘sin⁡30∘=122.123+122.12=146+142=14(6+2)=142(123+1)\begin{align*} \sin 75^\circ & = \sin (45^\circ + 30^\circ) \\ & = \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ \\ & = \frac{1}{2}\sqrt{2}. \frac{1}{2}\sqrt{3} + \frac{1}{2}\sqrt{2} . \frac{1}{2} \\ & = \frac{1}{4}\sqrt{6}+ \frac{1}{4}\sqrt{2} \\ & = \frac{1}{4}\left( \sqrt{6} +\sqrt{2}\right ) \\ & = \frac{1}{4}\sqrt{2} (\frac{1}{2}\sqrt{3}+1) \end{align*} Jadi, nilai dari sin⁡75∘\sin 75^\circ adalah 142(123+1)\frac{1}{4}\sqrt{2} (\frac{1}{2}\sqrt{3}+1)

3). Tentukan nilai dari sin⁡64∘cos⁡56∘+cos⁡64∘sin⁡41∘\sin 64^\circ \cos 56^\circ + \cos 64^\circ \sin 41^\circ
Alternatif Penyelesaian
Gunakan rumus sin⁡acos⁡b+cos⁡asin⁡b=sin⁡(a+b) \sin a \cos b + \cos a \sin b=\sin (a+b). sin⁡64∘cos⁡56∘+cos⁡64∘sin⁡56∘=sin⁡(64∘+56∘)=sin⁡120∘=sin⁡30∘=12\begin{align*} \sin 64^\circ \cos 56^\circ + \cos 64^\circ \sin 56^\circ & = \sin (64^\circ+56^\circ)\\ &= \sin 120^\circ=\sin 30^\circ \\ &= \frac{1}{2}\end{align*} Jadi, nilai dari nilai dari sin⁡64∘cos⁡56∘+cos⁡64∘sin⁡41∘\sin 64^\circ \cos 56^\circ + \cos 64^\circ \sin 41^\circ adalah 12\dfrac{1}{2}.

4). Diketahui Diketahui sin⁡p=35\sin p =\dfrac35 dan cos⁡q=1213\cos q = \dfrac{12}{13} (pp di kuadran III dan qq sudut lancip). Tentukan nilai dari sin⁡(p+q)\sin(p+q)!
Alternatif Penyelesaian
Gunakan rumus sin⁡(p+q)=sin⁡pcos⁡q+cos⁡psin⁡q \sin (p+q)=\sin p \cos q + \cos p \sin q.
sin pp dan cos qq telah diketahui, sehingga kita perlu menentukan cos⁡p\cos p dan sin⁡q\sin q terlebih dahulu dengan menggunakan rumus identitas sin⁡2p+cos⁡2q=1\sin^2 p+\cos^2q=1 atau bisa juga dengan menggambar segitiga.
Dari Identitas sin⁡2p+cos⁡2q=1\sin^2 p+\cos^2q=1,

*) maka cos⁡2p=1−sin⁡2q\cos^2 p=1-\sin^2q.

cos⁡2p=1−sin⁡2pcos⁡p=−1−sin⁡2p … p dikuadran III, maka cos⁡p negatif=−1−(35)2=−1−925=−2525−925=−1625cos⁡p=−45\begin{align*}\cos^2 p&=1-\sin^2p\\ \cos p&=-\sqrt{1-\sin^2p} \text{ … }p \text { dikuadran III, maka } \cos p \text{ negatif}\\ &=-\sqrt{1-\left(\frac35\right)^2}\\ &=-\sqrt{1-\frac{9}{25}}\\ &=-\sqrt{\frac{25}{25}-\frac{9}{25}}=-\sqrt{\frac{16}{25}}\\ \cos p&=-\frac{4}{5}\end{align*}

*) selanjutnya sin⁡2q=1−cos⁡2q\sin^2 q=1-\cos^2q.

sin⁡2q=1−cos⁡2qsin⁡q=+1−cos⁡2q … q lancip, maka sin⁡q positif=+1−(1213)2=+1−144169=169169−144169=25169sin⁡q=513\begin{align*}\sin^2 q&=1-\cos^2q\\ \sin q&=+\sqrt{1-\cos^2q} \text{ … }q \text { lancip, maka } \sin q \text{ positif}\\ &=+\sqrt{1-\left(\frac{12}{13}\right)^2}\\ &=+\sqrt{1-\frac{144}{169}}\\ &=\sqrt{\frac{169}{169}-\frac{144}{169}}=\sqrt{\frac{25}{169}}\\ \sin q&=\frac{5}{13}\end{align*}

*) mengitung nilai sin⁡(p+q)\sin (p+q)

sin⁡(x+y)=sin⁡pcos⁡q+cos⁡psin⁡q=(35)(1213)+(−45)(513)=3665−2065=1665\begin{align*} \sin (x+y)&=\sin p \cos q + \cos p \sin q \\ &=\left(\frac{3}{5}\right)\left(\frac{12}{13}\right) + \left(-\frac{4}{5}\right)\left(\frac{5}{13}\right) \\ &=\frac{36}{65} - \frac{20}{65} \\ &=\frac{16}{65} \end{align*} Jadi, nilai dari sin⁡(p+q)=1665\sin(p+q)=\dfrac{16}{65}

Apa selanjutnya?

yuk pelajari Rumus Jumlah dan Selisih Dua Sudut pada Tangen↝