Pelajari soal penilaian harian tentang fungsi komposisi dan invers beserta pembahasannya. Temukan cara penyelesaian yang jelas untuk memahami konsep matematika

Daftar Isi

Hai Sobat Sinmat…

Pada artikel ini, kami akan membahas soal-soal penilaian harian yang berkaitan dengan fungsi komposisi. Fungsi komposisi dan invers adalah konsep dasar dalam matematika, khususnya di kelas XI matematika lanjut. Artikel ini bertujuan untuk membantu kamu memahami dan menyelesaikan soal-soal terkait dengan kedua fungsi ini, serta memberikan pembahasan yang terperinci.

1. Pengertian Fungsi Komposisi

Fungsi komposisi adalah kombinasi dua fungsi di mana output dari satu fungsi menjadi input bagi fungsi lainnya. Jika diberikan dua fungsi $ f(x) $ dan $ g(x) $, maka komposisi fungsi $ (f \circ g)(x) $ dapat ditulis sebagai:

$$ (f \circ g)(x) = f(g(x)) $$

2. Pengertian Fungsi Invers

Fungsi invers adalah fungsi yang “membalikkan” efek dari fungsi lainnya. Jika $ f $ adalah suatu fungsi, maka fungsi inversnya, yang ditulis $ f^{-1}(x) $, memiliki sifat berikut:

$$ f(f^{-1}(x)) = x \quad \text{dan} \quad f^{-1}(f(x)) = x $$

3. Soal Komposisi Fungsi dan Pembahasan

  1. Diketahui fungsi $f(x)=2x-6$ nilai dari fungsi $f(x)$ untuk $x=-12$ adalah …

    1. -30
    2. -18
    3. -6
    4. 18
    5. 30

    $$\begin{align*} f(x)&=2x-6 \\f(-12)&=2(-12)-6 \\ &=-24-6=-30 \end{align*}$$

    Jadi, nilai dari fungsi $f(x)$ untuk $x=-12$ adalah -30. ❤️ A

  2. Diketahui fungsi $f(x)={{x}^{2}}-3x+9$ nilai dari fungsi $f(x)$ untuk $x=-4$ adalah …

    1. -37
    2. -13
    3. 5
    4. 13
    5. 37

    $$\begin{align*} f(x)&=x^2-3x+9 \\f(-4)&=(-4)^2-3(-4)+9 \\ &=16+12+9=-37 \end{align*}$$

    Jadi, nilai dari fungsi $f(x)$ untuk $x=-12$ adalah -30. ❤️E

  3. Diketahui $f(x)=8x-2$ dan $g(x)=x^2-x-6$. Fungsi komposisi $(f \circ g)(x)$ adalah …

    1. $(f \circ g)(x)=8x^2-8x-48$
    2. $(f \circ g)(x)=8x^2-8x+48$
    3. $(f \circ g)(x)=8x^2-8x-50$
    4. $(f \circ g)(x)=8x^2-8x+50$
    5. $(f \circ g)(x)=8x^2+8x-50$

    Diketahui:

    • $ f(x) = 8x - 2 $
    • $ g(x) = x^2 - x - 6 $

    Untuk komposisi $ (f \circ g)(x) = f(g(x)) $, kita substitusi $ g(x) $ ke dalam $ f(x) $:

    $$\begin{align*} (f \circ g)(x) &= f(g(x)) \\ &= 8(g(x)) - 2 \\ &= 8(x^2 - x - 6) - 2 \\ &= 8x^2 - 8x - 48 - 2 \\ &= 8x^2 - 8x - 50 \end{align*}$$

    Jadi, Fungsi komposisi $(f \circ g)(x)$ adalah $ (f \circ g)(x) = 8x^2 - 8x - 50 $. ❤️ C

  4. Diketahui fungsi $f(x)=x^2+5x-15$ dan fungsi $g(x)=x+2$. Fungsi komposisi $(f \circ g)(x)=\ldots$

    1. A. $x^2+9x+7$
    2. B. $x^2+9x-1$
    3. C. $x^2+7x+7$
    4. D. $x^2+5x+7$
    5. E. $x^2+5x-1$

    komposisi fungsi $ (f \circ g)(x) $ = $ f(g(x)) $, artinya menggantikan $ x $ pada $ f(x) $ dengan $ g(x) $.

    $$\begin{align*}(f \circ g)(x) &= f(g(x)) \\ &= f(x + 2) \\ &= (x + 2)^2 + 5(x + 2) - 15 \\ &= x^2 + 4x + 4 + 5x + 10 - 15 \\ &= x^2 + 9x - 1 \end{align*}$$

    Jadi, $ (f \circ g)(x) = x^2 + 9x - 1 $. ❤️ B

  5. Diketahui $f:R\rightarrow\ R$ dan $g∶R\rightarrow \ R$ yang didefinisikan $f(x)=x-5$ dan $g(x)=x^2-3x-4$. Komposisi fungsi $(g \circ f)(x)$ adalah …

    1. $x^2-3x-9$
    2. $x^2-3x-36$
    3. $x^2-13x-14$
    4. $x^2-13x+6$
    5. $x^2-13x+36$

    Diketahui:

    • $ f(x) = x - 5 $
    • $ g(x) = x^2 - 3x - 4 $

    Untuk komposisi $ (g \circ f)(x) = g(f(x)) $, kita substitusi $ f(x) = x - 5 $ ke dalam $ g(x) $:

    $$ \begin{align*} (g \circ f)(x) &= g(f(x)) \\ &= g(x - 5) \\ &= (x - 5)^2 - 3(x - 5) - 4 \\ &=x^2 - 10x + 25 - 3x + 15 - 4 \\ &= x^2 - 13x + 36 \end{align*}$$

    Jadi, jawabannya adalah E. ❤️

  6. Diketahui fungsi dan $f(x)=\dfrac{2x+3}{x-2}$ untuk $x\neq 2$, dan $g(x)=x+2$. Nilai fungsi komposisi $(f \circ g)(1)$ adalah …

    1. 1
    2. 2
    3. 3
    4. 6
    5. 9

    Diketahui:

    • Fungsi $ f(x) = \dfrac{2x + 3}{x - 2} $ untuk $ x \neq 2 $,
    • Fungsi $ g(x) = x + 2 $.

    Untuk mencari nilai $ (f \circ g)(1) $, kita pertama-tama mencari $ g(1) $, kemudian substitusi hasilnya ke dalam $ f(x) $.

    • hitung $ g(1) $:

      $ g(1) = 1 + 2 = 3 $

    • substitusi $ g(1) = 3 $ ke dalam $ f(x) $:

      $ f(g(1)) = f(3) = \dfrac{2(3) + 3}{3 - 2} = \dfrac{6 + 3}{1} = \dfrac{9}{1} = 9 $

    Jadi, nilai $ (f \circ g)(1) $ adalah $ \boxed{9} $. ❤️ E

  7. Diketahui fungsi dan $f(x)=\dfrac{5x+4}{x-1}$ untuk $x\neq 1$, dan $g(x)=4x+2$. Nilai fungsi komposisi $(f \circ g)(-1)$ adalah …

    1. –6
    2. –2
    3. –1
    4. 1
    5. 2

    Diketahui:

    • Fungsi $ f(x) = \frac{5x + 4}{x - 1} $ untuk $ x \neq 1 $,
    • Fungsi $ g(x) = 4x + 2 $.

    Untuk mencari nilai $ (f \circ g)(-1) $, kita pertama-tama menghitung $ g(-1) $, kemudian substitusikan hasilnya ke dalam $ f(x) $.

    • Hitung $ g(-1) $. $$ g(-1) = 4(-1) + 2 = -4 + 2 = -2 $$

    • Substitusi $ g(-1) = -2 $ ke dalam $ f(x) $. $$ f(g(-1)) = f(-2) = \frac{5(-2) + 4}{-2 - 1} = \frac{-10 + 4}{-3} = \frac{-6}{-3} = 2 $$

    Jadi, nilai $ (f \circ g)(-1) $ adalah $ 2 $. ❤️ E

4. Soal Fungsi Invers dan Pembahasan

  1. Diketahui $f\left(x\right) =\frac{4x+1}{x-4}$, $x\neq4$ Invers dari fungsi $f(x)$ adalah …

    1. $\frac{x+4}{4x-1}, x\neq\frac{1}{4}$
    2. $\frac{x-4}{4x+1}, x\neq-\frac{1}{4}$
    3. $\frac{4x-1}{x+4}, x\neq-\frac{1}{4}$
    4. $\frac{4x+1}{x-4}, x\neq4$
    5. $\frac{4x-1}{x-4}, x\neq4$

    Diketahui fungsi $ f(x) = \frac{4x + 1}{x - 4} $, dengan syarat $ x \neq 4 $. Kita diminta untuk mencari invers dari fungsi $ f(x) $.

    Jawaban: D. $ \frac{4x + 1}{x - 4}, x \neq 4 $. ❤️

  2. Diketahui $g\left(x\right)=2x-5$, invers dari fungsi $g(x)$ adalah …

    1. $ g^{-1}\left(x\right)=x+5$
    2. $ g^{-1}\left(x\right)=\frac{x-5}{2}$
    3. $ g^{-1}\left(x\right)=\frac{x+5}{2}$
    4. $ g^{-1}\left(x\right)=2x+5$
    5. $ g^{-1}\left(x\right)=x-5$

    Diketahui fungsi $ g(x) = 2x - 5 $, dan kita diminta untuk mencari invers dari fungsi tersebut.

    • Gantilah $ g(x) $ dengan $ y $: $$ y = 2x - 5 $$

    • Tukar posisi $ x $ dan $ y $: $$ x = 2y - 5 $$

    • Selesaikan untuk $ y $: Tambahkan 5 ke kedua sisi: $$ x + 5 = 2y $$

      Bagi kedua sisi dengan 2: $$ y = \frac{x + 5}{2} $$

    Jadi, invers dari fungsi $ g(x) $ adalah: $$ g^{-1}(x) = \frac{x + 5}{2} $$

    Jawaban yang benar adalah: $ \boxed{C. g^{-1}(x) = \frac{x + 5}{2} } $ ❤️

  3. Diketahui $f\left(x\right)=\frac{2x+3}{x-1},x\neq1$, dan $f^{-1}$ adalah invers dari f. Nilai dari $f^{-1}(-3)$ adalah …

    1. -6
    2. $-\dfrac{6}{5}$
    3. 0
    4. $\dfrac{6}{5}$
    5. 6

    Untuk mencari $ f^{-1}(-3) $, kita menggunakan langkah berikut:

    • Cari fungsi invers $ f^{-1}(x) $:

      tukar posisi koefisien x pembilang dengan konstanta penyebut, kemudian ganti tandanya

      $$ f(x) = \frac{2x+3}{x-1} \Rightarrow f^{-1}(x) = \frac{x+3}{x-2} $$

    • Substitusi $ x = -3 $ ke $f^{-1}(x)$:
      $$ f^{-1}(-3) = \frac{-3 + 3}{-3 - 2} = \frac{0}{-5} = 0 $$.

    jadi, Nilai dari $f^{-1}(-3)$ adalah 0. ❤️ C

  4. Diketahui $f\left(x\right)=\frac{3x-4}{2x-5},x\neq\frac{5}{2}$, dan $f^{-1}$ adalah invers dari $f$. Nilai dari $f^{-1}(1)$ adalah …

    1. \frac{9}{5}
    2. 1
    3. -1
    4. -\frac{9}{5}
    5. -\frac{1}{5}

    Untuk mencari $ f^{-1}(1) $, kita menggunakan langkah berikut:

    • Cari fungsi invers $ f^{-1}(x) $:

      tukar posisi koefisien x pembilang dengan konstanta penyebut, kemudian ganti tandanya

      $$ f(x) = \frac{3x-4}{2x-5} \Rightarrow f^{-1}(x) = \frac{5x-4}{2x-3} $$

    • Substitusi $ x = 1 $ ke $f^{-1}(x)$:
      $$ f^{-1}(1) = \frac{5(1) -4}{2(1) - 3} = \frac{1}{-1} = -1 $$.

    Jadi, Nilai dari $f^{-1}(-3)$ adalah -1. ❤️ C

5. Soal Kombinasi Komposisi dan Invers

  1. Jika fungsi $f\left(x\right)= \frac{2x+3}{x-5}$ , $x\neq5$ dan $g\left(x\right)=3x+1$ maka $\left(g \circ f\right)^{-1}\left(x\right)=\ldots$

    1. $\frac{5x+4}{x+7}, x\neq-7$
    2. $\frac{5x+7}{x-4}, x\neq4$
    3. $\frac{5x+4}{x-7}, x\neq7$
    4. $\frac{5x-4}{x-7}, x\neq7$
    5. $\frac{5x-7}{x-4}, x\neq4$

      kita bisa menggunakan sifat $(g\circ f)^{-1}(x)=f^{-1}(g^{-1}(x))$

      • tentukan invers masing-masing $f(x)$ dan $g(x)$ $$f\left(x\right)= \frac{2x+3}{x-5} \Rightarrow f^{-1}\left(x\right)= \frac{5x+3}{x-2} $$ dan $$g\left(x\right)=3x+1 \Rightarrow g^{-1}(x)=\frac{x-1}{3} $$
      • substitusikan $g^{-1}(x)$ ke $f^{-1}(x)$ $$\begin{align*} (g\circ f)^{-1}(x)&=f^{-1}(g^{-1}(x)) \\ &= \frac{5\left(\frac{x-1}{3}\right)+3}{\left(\frac{x-1}{3}\right)-2} \\ &= \frac{5(x-1)+9}{(x-1)-6} \\ &= \frac{5x-5+9}{x-1-6} \\ &= \frac{5x+4}{x-7} \end{align*} $$

      Jadi, $\left(g \circ f\right)^{-1}\left(x\right)=\frac{5x+4}{x-7}$ ❤️ C

  2. Diketahui $f\left(x\right)=3x+2$ dan $\left(gof\right)\left(x\right)=6x-4$. Nilai $g^{-1}\left(-4\right)$ adalah …

    1. 4
    2. 2
    3. 1
    4. –2
    5. –4

    Diketahui $ f(x) = 3x + 2 $ dan $ (g \circ f)(x) = 6x - 4 $. Kita diminta menentukan $ g^{-1}(-4) $.

    • Cari $g(x)$ dengan ekspansi $ (g \circ f)(x) $ $$\begin{align*} (g \circ f)(x) = g(f(x)) = 6x - 4 \\ \Leftrightarrow g(3x + 2) = 6x - 4 \end{align*}$$

      Misalkan $ y = 3x + 2 $, maka $ x = \frac{y - 2}{3} $, dan $ g(y) $ dapat ditulis ulang sebagai:

      $$\begin{align*} g(y) &= 6\left(\frac{y - 2}{3}\right) - 4 \\ &= 2(y - 2) - 4 \\ &= 2y - 4 - 4 \\ &= 2y - 8 \end{align*}$$

      Jadi, fungsi $ g(x) = 2x - 8 $.

    • Tentukan fungsi invers $ g^{-1}(x) $

      Misalkan $ g(y) = x $, maka:

      $$ x = 2y - 8 \\ \Leftrightarrow 2y = x + 8 \\ \Leftrightarrow y = \frac{x + 8}{2} $$

      Jadi, $ g^{-1}(x) = \frac{x + 8}{2} $.

    • Hitung $ g^{-1}(-4) $

      Substitusi $ x = -4 $ ke $ g^{-1}(x) $:

      $$ g^{-1}(-4) = \frac{-4 + 8}{2} = \frac{4}{2} = 2 $$

    Jadi nilai dari $g^{-1}(-4)$ adalah 2. ❤️ B

6. Soal Penyelesaian Masalah Nyata Komposisi

  1. Suatu pabrik kertas dengan bahan bakar kayu $(x)$ memproduksi kertas melalui dua tahap. Tahap pertama menggunakan mesin I menghasilkan bahan kertas setengah jadi $(m)$ dengan mengikuti fungsi $m=f\left(x\right)=x^2-2x-5$. Tahap kedua dengan menggunakan mesin II menghasilkan kertas mengikuti fungsi $g\left(m\right)=5m-5$. Jika $x$ dan $m$ dalam satuan ton dan bahan dasar kayu yang tersedia sebesar 4 ton, banyak kertas yang dihasilkan adalah …

    1. 30 ton
    2. 25 ton
    3. 15 ton
    4. 10 ton
    5. 5 ton

    Diketahui:

    • $ m = f(x) = x^2 - 2x - 5 $,
    • $ k = g(m) = 5m - 5 $,
    • $ x = 4 $ (bahan kayu tersedia 4 ton).

    penyelesaian:

    • Hitung $ m $ saat $ x = 4 $: $$ m = 4^2 - 2(4) - 5 = 16 - 8 - 5 = 3 , \text{ton}. $$

    • Hitung $ k $ (banyak kertas) saat $ m = 3 $: $$ k = 5(3) - 5 = 15 - 5 = 10 , \text{ton}. $$

    Jadi, jawaban: D. 10 ton ❤️

  2. Dina harus membantu orang tuanya berjualan bahan makanan di toko milik keluarganya. Dina mendapat uang saku berdasarkan jumlah barang yang terjual pada hari tersebut dengan fungsi U\left(x\right)=1.500x+500, dengan U adalah uang saku dalam rupiah dan x adalah jumlah barang dalam unit. Jika jumlah barang yang terjual tergantung pada waktu yang dihabiskan Dina di toko keluarganya dengan x\left(t\right)=2t+3, dimana t adalah waktu dalam jam, maka besar uang saku yang diperoleh Dina jika dia membantu selama 2 jam pada suatu hari adalah …

    1. Rp10.500,00
    2. Rp11.000,00
    3. Rp11.500,00
    4. Rp12.000,00
    5. Rp12.500,00

    Diketahui:

    • Fungsi uang saku: $ U(x) = 1.500x + 500 $,
    • Fungsi jumlah barang: $ x(t) = 2t + 3 $,
    • Dina membantu selama $ t = 2 $ jam.

    penyelesaian:

    • Hitung $ x $ (jumlah barang terjual) saat $ t = 2 $: $$ x = 2(2) + 3 = 4 + 3 = 7 , \text{unit}. $$

    • Hitung $ U(x) $ (uang saku) saat $ x = 7 $: $$ U(7) = 1.500(7) + 500 = 10.500 + 500 = 11.000 , \text{rupiah}. $$

    Jadi, jawaban: D. Rp11.000,00 ❤️ D