Soal HOTS ini tidak hanya membuat kamu mampu mengerjakan soal matematika saja akan tetapi membantu kamu untuk mengasah nalar, berpikir logis, kreatif dan juga pandai menganalisa. Kemampuan menganalisa inilah yang sangat penting untuk kamu di masa depan.

Soal HOTS ini tidak hanya membuat kamu mampu mengerjakan soal matematika saja akan tetapi membantu kamu untuk mengasah nalar, berpikir logis, kreatif dan juga pandai menganalisa. Kemampuan menganalisa inilah yang sangat penting untuk kamu di masa depan. Saat kamu sudah terjun di masyarakat, kamu akan lebih siap dan mudah untuk berpikir kritis sehingga mampu menyelesaikan masalah yang sedang kamu hadapi. Kali ini kita akan membahas soal Dimensi Tiga.

  1. Suatu aula berbentuk balok dengan perbandingan panjang : lebar adalah 1:1. Sedangkan perbandingan lebar dan tinggi aula adalah 5:2. Di langit-langit aula terdapat lampu yang letaknya tepat pada pusat bidang langit-langit. Pada salah dinding aula dipasang saklar yang letaknya tepat di tengah-tengah dinding. Jika Panjang aula adalah 10 m, jarak saklar ke lampu adalah ….
    A. $7$ m
    B. $\dfrac72$ m
    C. $7\sqrt{29}$ m
    D. $\sqrt{29}$ m
    E. $\dfrac12\sqrt{29}$ m

    Misal aula adalah Balok ABCD.EFGH dengan
    $p:l=1:1$ dan $l:t=5:2$ maka $p:l:t=5:5:2$.
    diketahui $p = 10$ m sehingga $p=10$ m, $l=10$m, dan $t=4$ m
    Misalkan lagi lampu adalah L, saklar adalah S dan T adalah titik tengah EH, maka dapat kita gambar seperti berikut Soal saklar lampu Dari gambar di atas jarak antara saklar dan lampu adalah panjang LS.
    Berdasarkan $\vartriangle TLS$ kita dapat mencari panjang LS dengan menggunakan teorema pythagoras.
    $$\begin{align*}LS^2&=ST^2+TL^2 \\\ &=(\frac12 CG)^2+(\frac12 AB)^2 \\&=2^2+5^2=29\\ LS&=\sqrt{29} \end{align*}$$ Jadi, jarak antara saklar ke lampu adalah $\sqrt{29}$. (D) 😄

  2. Ketika jam pelajaran Dedi tidak mengikuti kegiatan belajar mengajar dikelas. Ia malah duduk-duduk nongkrong di depan kelas ijin keluar alasannya ke kamar mandi. Guru mengetahui perbuatan tersebut dan memberikan teguran bahwa perbuatan tersebut menunjukkan karakter yang kurang baik. Selain ditegur, Dedi juga diberi sanksi untuk menghitung jarak antara titik ke garis diagonal bidang kamar mandi tersebut dan Dedi bisa menghitung dengan tepat. Kamar mandi tersebut berbentuk kubus dan dimisalkan kubus ABCD.EFGH dengan panjang kamar mandi 3 m. Jika dedi menghitung jarak antara titik E ke garis DG, berapakah jawaban Dedi?
    A. $3$ m
    B. $\frac32 \sqrt{2}$ m
    C. $\frac34 \sqrt{2}$ m
    D. $\frac32 \sqrt{6}$ m
    E. $\frac34 \sqrt{6}$ m

    Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 3 m. jarak titik E ke DG?
    Perhatikan gambar berikut Jarak E ke DG Misal N pada DG sehingga jarak E ke DG adalah EN. Kita dapat menentukan panjang EN dengan membuat segitiga bantu $\vartriangle EDG$.
    $\vartriangle EDG$ merupakan segitiga sama sisi dengan ED=DG=EG merupakan diagonal bidang kubus. ingat bahwa diagonal bidang kubus dapat kita cari dengan rumus langsung $r\sqrt{2}$ atau dengan teorema pythagoras $$\begin{align*} ED^2&=AB^2+AD^2\\ &=3^2+3^2\\ &=9+9=9\times2\\ ED&=\sqrt{9\times2}\\ ED&=3\sqrt{2} \end{align*}$$ Selanjutnya kita dapat mencari panjang EN pada $\vartriangle EDG$ dengan pythagoras $$\begin{align*} EN^2&=EG^2-NG^2\\&=EG^2-(\frac12 DG)^2\\&=(3\sqrt2)^2-(\frac32\sqrt2)^2\\ &=18-\frac{18}{4}\\&=\frac{72}{4}-\frac{18}{4}=\frac{54}{4}\\ EN&=\sqrt{\frac{54}{4}}\\ EN&=\frac32\sqrt{6} \end{align*}$$ Jadi, jawaban Dedi atas jarak E ke DG adalah $\frac32\sqrt{6}$. (D) 😄

  3. Pembelajaran matematika materi dimensi tiga dilakukan dengan diskusi kelompok. Asep sibuk sendiri bermain gadget dan tidak mengikuti diskusi bersama temannya. Setiap kelompok mendiskusikan bagaimana menghitung jarak titik puncak pada bidang empat beraturan ke bidang alas dengan Panjang rusuk 9 m. Ketika presentasi didepan kelas Asep diminta maju mempresentasikan kerja kelompoknya. Asep mempresentasikan bahwa jarak titik puncak pada bidang empat beraturan ke bidang alas adalah merupakan salah satu panjang rusuk bidang empat beraturan. Pernyataan yang tepat tentang hasil presentasi Asep adalah…
    A. Jawaban yang dipresentasikan Asep benar yaitu jarak titik puncak ke bidang alas 8 m
    B. Jawaban yang dipresentasikan Asep benar yaitu jarak titik puncak ke bidang alas 9 m
    C. Jawaban yang dipresentasikan Asep salah, seharusnya jaraknya 3√5 m
    D. Jawaban yang dipresentasikan Asep salah, seharusnya jaraknya 3√6 m
    E. Jawaban yang dipresentasikan Asep salah, seharusnya jaraknya 9√6 m

    Misalkan bidang empat beraturan tersebut adalah ABCD dengan panjang rusuk 9 m dengan puncak titik D dan bidang alas ABC. Titik O merupakan proyeksi titik D terhadap bidang ABC (alas) sehingga jarak puncak ke bidang alasa adalah DO.
    Pada bidang empat beraturan semua sisinya berbentuk segitiga sama sisi, untuk itu ingat sifat-sifat segitiga sama sisi

    Selanjutnya perhatikan gambar bidang empat beraturan berikut Bidang empat beraturan $\vartriangle BCD$ merupakan segitiga sama sisi dengan $BC=BD=CD=9$ m. Titik P ditengah BC sehingga DP merupakan tinggi $\vartriangle BCD$.
    Perhatikan segitiga $\vartriangle ADP$. AP merupakan tinggi $\vartriangle ABC$ sehingga AP=DP dan $\vartriangle ADP$ segitiga sama kaki. AP dapat kita cari dengan teorema pada segitiga sama sisi yaitu $$\begin{align*}tinggi&=\frac12 a\sqrt3 \\\ AP=DP&=\frac12\cdot 9\sqrt3 \\ AP=DP&=\frac92\sqrt3 \end{align*}$$ Titik Q pada AD sehingga PQ tegak lurus AD. Kita cari PQ dengan pythagoras $$\begin{align*}PQ^2&=AP^2-AQ^2 \\ &=AP^2-(\frac12 AD)^2 \\ &= (\frac92\sqrt3)^2- (\frac92)^2\\ &= \frac{81}{4}\times3 - \frac{81}{4}=\frac{81}{4}\times2\\ PQ&= \sqrt{\frac{81}{4}\times2}\\ PQ&=\frac92\sqrt2\end{align*}$$ Selanjutnya cari DO menggunakan luas segitiga $\vartriangle ADP$.
    $$\begin{align*}L=\cancel{\frac12} AP \times DO&=\cancel{\frac12} AD\times PQ \\\ AP \times DO&= AD\times PQ \\\ DO&=\frac{AD\times PQ}{AP} \\ &=\frac{9\times\cancel{\frac92}\sqrt2}{\cancel{\frac92}\sqrt3}\\ &=\frac{9\sqrt2}{\sqrt3}\times \frac{\sqrt3}{\sqrt3}\\DO&=\frac93\sqrt6=3\sqrt6 \end{align*}$$

    Jadi, Jawaban yang dipresentasikan Asep salah, seharusnya jaraknya $3\sqrt{6}$ m. (D) 😄

  4. Pada kubus ABCD.EFGH dengan Panjang rusuk $8\sqrt{5}$ cm titik P dan Q berturut-turut di tengah garis AB dan GH. Jarak antara garis DP dan garis FQ adalah … A. $20$ cm
    B. $20\sqrt{5}$ cm
    C. $20\sqrt{10}$ cm
    D. $40$ cm
    E. $40\sqrt{5}$ cm

    Perhatikan gambar kubus ABCD.EFGH berikut.
    Soal 4 Pada gambar garis DP sejajar dengan FQ sehingga jarak antara DP dan FQ adalah panjang ruas garis PF. Panjang PF dapat kita cari dengan pythagoras pada $\vartriangle PBF$. $$\begin{align*}PF^2&=PB^2+BF^2\\&=(\frac12 AB)^2+BF^2\\&=(4\sqrt5)^2+(8\sqrt5)^2\\&=80+320=400\\PQ&=\sqrt{400}=20 \end{align*}$$ Jadi, jarak antara garis DP dan garis FQ adalah $20$ cm. (A) 😄

  5. Diketahui panjang sebuah rusuk kubus ABCD.EFGH adalah 2022 cm. Titik P, titik Q, titik R, dan titik S berturut-turut merupakan titik tengah dari rusuk AB, BC, EH, dan HG. Hitunglah Jarak bidang FPQ ke bidang DRS.
    A. $1011$ cm
    B. $1011\sqrt{2}$ cm
    C. $2022$ cm
    D. $2022\sqrt{2}$ cm
    E. $2022\sqrt{3}$ cm

    Pada soal diatas dapat kita gambar kubus ABCD.EFGH sebagai berikut. Jarak bidang FPQ ke bidang DRS Perhatikan bidang BDHF yang memotong bidang DRS dan bidang FPQ pada garis DK dan garis FL. Garis BD dan garis HF merupakan diagonal bidang pada kubus sehingga $BD=HF=2022\sqrt2$. Perbandingan DL:BL=3:1, sehingga $DL=FK=\frac{3}{4}\times 2022\sqrt2$ dan $BL=HK=\frac{1}{4}\times 2022\sqrt2$.
    Jarak bidang FPQ ke bidang DRS adalah panjang ruas garis LN.
    Selanjutnya perhatikan $\vartriangle DKL$ kita dapat mencari LN dengan menggunakan kesamaan luas segitiga. sebelumnya cari terlebih dahulu panjang DK. $$\begin{align*}DK^2&=DH^2+HK^2\\&=2022^2+(\frac{2022}{4}\sqrt2)^2\\&=2022^2(1+\frac{2}{4^2})\\&=2022^2(\frac{4^2}{4^2}+\frac{2}{4^2})\\&=2022^2(\frac{18}{4^2})\\&=\frac{2022^2}{4^2}\times18\\DK&=\sqrt{\frac{2022^2}{4^2}\times18}\\&=\frac{2022}{4}\sqrt{18}\\&=\frac{2022}{4}\times 3\sqrt{2}=\frac{3}{4}\times 2022\sqrt2\\DK&=DL\end{align*}$$ Kita cari LN dengan kesamaan Luas Segitiga $\vartriangle DKL$. $$\begin{align*}LN&=\frac{DL\times KM}{DK}\\LN&=\frac{\cancel{DL}\times KM}{\cancel{DL}}\\LN&=KM=2022\end{align*}$$ jadi, jarak bidang FPQ ke bidang DRS adalah 2022 cm. (C) 😄

  6. Pada balok KLMN.PQRS perbandingan panjang:lebar:tinggi adalah 2:2:3. Jika Panjang balok 8 cm. Tentukan jarak titik K ke titik R.

    Diketahui perbandingan $p:l:t=2:2:3$ pada balok, panjang balok 8 cm sehingga lebar 8 cm dan tinggi 12 cm. Jarak K ke R merupakan panjang diagonal ruang balok sehingga $$\begin{align*}KR^2&=p^2+l^2+t^2\\&=8^2+8^2+12^2\\&=4^2.2^2+4^2.2^2+4^2.3^2\\&=4^2(4+4+9)=4^2.17\\KR&=\sqrt{4^2.17}=4\sqrt{17}\end{align*}$$ jadi, jarak titik K ke titik R adalah $4\sqrt{17}$

  7. Diketahui kubus ABCD.EFGH mempunyai panjang rusuk $4a$ cm. Titik P pada BC sehingga BP:BC=1:4. Titik Q pada GH sehingga HQ:QG = 1:3, R titik tengah AE. Tentukan jarak R ke PQ.

    Persoalan diatas dapat kita gambarkan sebagai berikut jarak R ke PQ Perhatikan $\vartriangle PQR$ sama kaki cari PR dan PQ. $$\begin{align*}PR^2&=BP^2+AB^2+AR^2\\&=a^2+(4a)^2+(2a)^2\\&=a^2+16a^2+4a^2\\&=21a^2\\PR&=\sqrt{21a^2}=a\sqrt{21}\end{align*}$$ $$\begin{align*}PQ^2&=PC^2+CG^2+GQ^2\\&=(3a)^2+(4a)^2+(3a)^2\\&=9a^2+16a^2+9a^2\\&=34a^2\\PR&=\sqrt{34a^2}=a\sqrt{34}\end{align*}$$ misalkan S adalah titik proyeksi R ke garis PQ sehingga jarak R ke PQ adalah panjang RS. Panjang RS dapat kita cari dengan teorema pythagoras $$\begin{align*}RS^2&=PR^2-PS^2\\&=PR^2-(\frac12PQ)^2\\&=(a\sqrt{21})^2-(\frac12a\sqrt{34})^2\\&=21a^2-\frac{34}{4}a^2\\&=\frac{84}{4}a^2-\frac{34}{4}a^2=\frac{50}{4}a^2\\ RS&=\sqrt{\frac{50}{4}a^2}\\ RS&=\frac{a}{2}\sqrt{50}\\ RS&=\frac{5}{2}a\sqrt{2}\end{align*}$$ jadi, jarak titik R ke garis PQ adalah $\frac{5}{2}a\sqrt{2}$

  8. Kubus ABCD.EFGH mempunyai panjang rusuk $2a$ cm. Titik K pada perpanjangan DA sehingga $KA = \frac13 KD$. Tentukan Jarak titik K ke bidang BDHF.

    Persoalan diatas dapat kita gambarkan sebagai berikut jarak R ke PQ Misal titik O merupakan proyeksi titik K terhadap bidang BDHF maka jarak K ke bidang BDHF adalah panjang ruas garis KO. titik O pada BD.
    Perhatikan $\vartriangle BDK$. BD merupakan diagonal bidang ABCD sehingga $BD=2a\sqrt2$.
    Dengan menggunakan luas kesamaan segitiga $\vartriangle BDK$ kita dapat menentukan panjang KO yaitu $$\begin{align*}KO&=\frac{AD\times AB}{BD}\\&=\frac{3a\times \cancel{2a}}{\cancel{2a}\sqrt2}\\ &=\frac{3a}{\sqrt2}=\frac32 a\sqrt2\end{align*}$$ Jadi, Jarak titik K ke bidang BDHF adalah $\frac32 a\sqrt2$ cm.

  9. Diketahui limas beraturan T.ABCD. panjang rusuk tegak dan panjang rusuk alas 2022 cm. Tentukan jarak titik A ke garis TB.

    Persoalan diatas dapat kita gambarkan sebagai berikut jarak R ke PQ Titik Q merupakan proyeksi titik A terhadap Garis TB sehingga jarak titik A ke garis TB adalah AQ.
    Perhatikan segitiga $\vartriangle TAB$ sama sisi karena panjang rusuknya sama yaitu 2022 cm sehingga AQ merupakan tinggi segitiga sama sisi.
    ingat bahwa tinggi segitiga sama sisi $=\frac12a\sqrt3$ maka $$AQ=\frac12 .2022 \sqrt3 =1011\sqrt3 $$ Itu jawaban pro ya jawaban newbie gunakan teorema pythagoras $$\begin{align*}AQ^2&=AB^2-BQ^2\\&=AB^2-(\frac12 BT)^2\\&=2022^2-1011^2\\&=1011^2.2^2-1011^2.1\\&=1011^2(4-1)=1011^2.3\\ AQ&=\sqrt{1011^2.3}\\ AQ&=1011\sqrt{3}\end{align*}$$ jadi, jarak titik A ke garis TB adalah $1011\sqrt{3}$ cm.

  10. Sebuah limas T.ABCD dimana semua Panjang rusuknya sama yaitu $2a$. Titik P, Q, R, dan S masing-masing terletak ditengah-tengah AB, CD, TD, dan TA. Tentukan jarak PQRS dan TBC.

    Persoalan diatas dapat kita gambarkan sebagai berikut jarak R ke PQ jarak bidang PQRS dan bidang TBC adalah KO.
    Perhatikan $\vartriangle TBC$. TL merupakan tinggi $\vartriangle TBC$ sehingga $TL=\frac{2a}{2}\sqrt3$.
    Perhatikan $\vartriangle TOL$.
    $$\begin{align*}TO^2&=TL^2-OL^2\\&=(a\sqrt3)^2-a^2\\&=3a^2-a^2=2a^2\\ TO&=\sqrt{2a^2}=a\sqrt2\end{align*}$$
    Dengan menggunakan kesamaan luas $\vartriangle TOL$ diperoleh $$\begin{align*}KO&=\frac{OL\times TO}{TL}\\&=\frac{a\times \cancel{a}\sqrt2}{\cancel{a}\sqrt3}\\ &=\frac{a\sqrt2}{\sqrt3}=\frac{a}{3}\sqrt6\end{align*}$$ Jadi, jarak PQRS dan TBC adalah $\frac{a}{3}\sqrt6$ cm.