Transformasi Geometri: Rotasi (Perputaran) | Matematika SMA Kelas XI

Pelajari konsep Rotasi (Perputaran) bagian dari transformasi geometri dengan mudah dan jadi jagoan Matematika SMA Kelas XI!

Hai Sobat Sinmat, Bosan dengan soal rotasi yang bikin pusing?

Pernahkah kamu mengamati perputaran baling-baling kipas angin, roda mobil, atau jarum jam? Dalam matematika, fenomena perputaran ini dipelajari dalam konsep Rotasi atau Perputaran, yang merupakan salah satu jenis transformasi geometri.

Tapi bagaimana cara menghitungnya dalam matematika?

Kali ini mimin akan membagikan materi lengkap mengenai Rotasi atau perputaran yang kalian pelajari di kelas XI SMA atau SMK. Dalam materi ini kalian akan belajar Konsep Dasar Rotasi dan Jenis-jenis Rotasi.

Sebelum memulai, pastikan kamu sudah familiar dengan:

• Transformasi Geometri: Pengenalan konsep dasar.
• Sistem Koordinat Kartesius: Titik acuan untuk perhitungan.
• Operasi Hitung Matriks: Alat bantu untuk menyelesaikan soal rotasi.

Yuk, scroll ke bawah dan mulai belajar rotasi seperti seorang master!

Pengertian Rotasi

Rotasi atau perputaran adalah transformasi geometri yang memindahkan setiap titik pada bidang ke titik lainnya dengan cara memutar pada titik tertentu.

Rotasi pada bidang datar ditentukan oleh :

1. Titik pusat rotasi
2. Besar sudut rotasi
3. Arah sudut rotasi

Elemen-elemen Rotasi:

• Titik Pusat Rotasi: Titik yang menjadi acuan pergerakan putaran dari titik awal ke titik akhir.
• Sudut Rotasi: Besar sudut putaran yang diukur dalam derajat. Sudut rotasi positif ($\alpha$) menunjukkan arah putaran berlawanan arah jarum jam, sedangkan sudut rotasi negatif ($-\alpha$) menunjukkan arah putaran searah jarum jam.
• Sudut Orientasi: Sudut yang dibentuk oleh garis yang menghubungkan titik pusat rotasi dengan titik awal dan garis yang menghubungkan titik pusat rotasi dengan titik akhir.

Rotasi dinotasikan dengan $R(P,\alpha)$ dimana $P$ merupakan pusat rotasi dan $\alpha$ besar sudut rotasi

Jenis-Jenis Rotasi (Perputaran)

1. Menentukan Rotasi Titik terhadap Pusat (0, 0)

untuk memahami bentuk rotasi pada titik pusat (0, 0), kita bisa amati perpindahan titik A pada gambar berikut

Misalkan terdapat sebuah titik $𝐴(𝑥, 𝑦)$ akan dirotasikan sebesar $\alpha$ dengan pusat (0, 0) dan akan menghasilkan titik $𝐴'(𝑥', 𝑦')$ dan dapat dituliskan sebagai berikut.

$$A(x,y) \xrightarrow[]{R_{[O(0,0),\alpha]}} A' (x, -y )$$

Titik $(𝑥, 𝑦)$ dirotasikan sebesar $\alpha$ terhadap titik pusat $(0, 0)$ menghasilkan bayangan titikitik $𝐴'(𝑥', 𝑦')$ dengan Langkah-langkah:

1. Misalkan titik awal adalah $A(x, y)$ dan sudut rotasi adalah $\alpha$.
2. Gunakan matriks rotasi berikut:

$$\begin{bmatrix} \cos\alpha & -\sin\alpha \\ \sin\alpha & \cos\alpha \end{bmatrix}$$

3. Kalikan matriks rotasi dengan koordinat titik awal:

$$\begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos\alpha & -\sin\alpha \\ \sin\alpha & \cos\alpha \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$$

4. Koordinat titik akhir $A'(x', y')$ adalah hasil perkalian tersebut.

Contoh Soal 1

Diketahui Titik $A(4, -2)$ dirotasikan $90^\circ$ berlawanan arah jarum jam terhadap pusat $(0, 0)$. Tentukan koordinat titik $A$ setelah dirotasi!

Alternatif Penyelesaian ✍️

Koordinat Titik $A(4, -2)$ dirotasikan $R_{(O,90^\circ)}$

Koordinat titik $P$ setelah dirotasi:

$$\begin{align*}\begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} \cos\alpha & -\sin\alpha \\ \sin\alpha & \cos\alpha \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} \cos 90\degree & -\sin 90\degree \\ \sin 90\degree & \cos 90\degree \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 4 \\ -2 \end{bmatrix} \\ &=\begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 4 \\ -2 \end{bmatrix} \\ &=\begin{bmatrix} 2 \\ 4 \end{bmatrix} \end{align*}$$

Jadi, titik $A$ setelah dirotasi menjadi $A'(2,4)$.

2. Menentukan Rotasi Kurva terhadap Pusat (0, 0)

Contoh Soal 2

Diketahui garis $2𝑥 − 3𝑦 + 6 = 0$ dirotasikan sebesar $180\degree$ terhadap titik pusat (0, 0). Tentukan Persamaan garis hasil rotasi tersebut!

Alternatif Penyelesaian ✍️

• cari persamaan yang memenuhi salah satu titik

  Misalkan Titik $A(x, y)$ melalui $2𝑥 − 3𝑦 + 6 = 0$ dirotasikan $R_{(O,180^\circ)}$ sehingga $$\begin{align*} \begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} \cos\alpha & -\sin\alpha \\ \sin\alpha & \cos\alpha \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} \cos 180\degree & -\sin 180\degree \\ \sin 180\degree & \cos 180\degree \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} \\ &=\begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x4 \\ y \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} &=\begin{bmatrix} -x \\ -y \end{bmatrix} \end{align*}$$

• Berdasarkan kesamaan dua matriks diperoleh $$\begin{align*} x'=-x \rightarrow x=-x' \\ y'=-y \rightarrow y=-y' \end{align*}$$

• Substitusi $𝒙 = −𝒙'$ dan $𝒚 = −𝒚'$ ke persamaan garis $2𝑥 − 3𝑦 + 6 = 0$

  $$\begin{align*}2𝑥 − 3𝑦 + 6 = 0 \\ 2(-𝑥') − 3(-𝑦') + 6 = 0 \\ -2𝑥' + 3𝑦' + 6 = 0 \end{align*}$$

Jadi, persamaan garis hasil rotasi adalah −2𝑥 + 3𝑦 + 12 = 0

3. Menentukan Rotasi Titik terhadap Pusat (a, b)

untuk memahami bentuk rotasi pada titik pusat (a, b), kita bisa amati perpindahan titik A pada gambar berikut

Misalkan terdapat sebuah titik $𝐴(𝑥, 𝑦)$ akan dirotasikan sebesar $\alpha$ dengan pusat (a, b) dan akan menghasilkan titik $𝐴'(𝑥', 𝑦')$ dan dapat dituliskan sebagai berikut.

$$A(x,y) \xrightarrow[]{R_{[(a,b),\alpha]}} A' (x, -y )$$

Titik $(𝑥, 𝑦)$ dirotasikan sebesar $\alpha$ terhadap titik pusat $(0, 0)$ menghasilkan bayangan titik $𝐴'(𝑥', 𝑦')$ dengan aturan:

$$\begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos\alpha & -\sin\alpha \\ \sin\alpha & \cos\alpha \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x-a \\ y-b \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix}$$

Contoh Soal 3

Diketahui Titik $C(6, -1)$ dirotasikan $90^\circ$ berlawanan arah jarum jam terhadap pusat $(2, 1)$. Tentukan koordinat titik $C$ setelah dirotasi!

Alternatif Penyelesaian ✍️

Koordinat Titik $C(6, -1)$ dirotasikan $R_{([2,1],90^\circ)}$

Koordinat titik $C$ setelah dirotasi:

$$\begin{align*}\begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} \cos\alpha & -\sin\alpha \\ \sin\alpha & \cos\alpha \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x-a \\ y-b \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} \cos 90\degree & -\sin 90\degree \\ \sin 90\degree & \cos 90\degree \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 6-2 \\ -1-1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix} \\ &=\begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 4 \\ -2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix} \\ &=\begin{bmatrix} 2 \\ 4 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix} \\ &=\begin{bmatrix} 4 \\ 5 \end{bmatrix} \end{align*}$$

Jadi, titik $C$ setelah dirotasi menjadi $C'(4,5)$.

Demikian yang dapat mimin berikan Ingat!

• Jangan sungkan bertanya jika kamu butuh bantuan.
• Praktek langsung untuk kuasai konsep rotasi!