Vektor pada bangun ruang (dimensi tiga) adalah vektor yang memiliki 3 buah sumbu yaitu X, Y dan Z yang saling tegak lurus dan perpotongan ketiga sumbunya sebagai pangkal

Setelah pada sebelumnya telah mempelajari vektor pada bidang (R2), selanjutnya kita kembangkankan pembahasan kita mengenai vektor pada bangun ruang (R3). Vektor pada bangun ruang (dimensi tiga) adalah vektor yang memiliki 3 buah sumbu yaitu X, Y dan Z yang saling tegak lurus dan perpotongan ketiga sumbunya sebagai pangkal.

1. Penulisan Vektor di R3

Vektor pada ruang adalah vektor yang terletak di dalam ruang dimensi 3. Ruang ini dibentuk oleh 3 sumbu yaitu sumbu X, sumbu Y, dan sumbu Z. Ketiga sumbu ini berpotongan tegak lurus. Hasil perpotongan ini adalah O. Selanjutnya, titik O disebut sebagai sumbu pusat. Perhatikan gambar kaidah jari tangan kanan di samping. kaidah jari tangan kanan Kaidah ini menerangkan beberapa hal, yaitu:

  1. Jari telunjuk menunjukkan sumbu Y. Bilangan-bilangan yang terletak setelah O dan searah telunjuk merupakan bilangan positif. Arah dan letak sebaliknya berarti bilangan negatif.
  2. Ibu jari menunjukkan sumbu X. Bilangan yang searah ibu jari dan terletak setelah O merupakan bilangan positif. Arah dan letak sebaliknya merupakan bilangan negatif.
  3. Jari tengah menunjukkan sumbu Z. Bilangan yang searah jari tengah dan terletak setelah O merupakan bilangan positif. Arah dan letak sebaliknya merupakan bilangan negatif.

Perhatikan contoh gambar vektor ruang di samping. vektor ruang Vektor OA→\overrightarrow{OA} di samping merupakan vektor ruang dengan pangkal O (0, 0, 0) dan ujung A (1, 1, 1). Vektor osisi OA→\overrightarrow{OA} ini dapat ditulis dengan vektor kolom, menjadi: OA→=(111)\overrightarrow{OA}=\begin{pmatrix} 1 \\1 \\1 \end{pmatrix}

Vektor ruang dapat pula ditulis dalam satuan i^,j^\widehat{i},\widehat{j} dan k^\widehat{k}. Satuan i^\widehat{i} sesuai dengan sumbu X, satuan j^\widehat{j} sesuai dengan sumbu Y, dan satuan k^\widehat{k} sesuai dengan sumbu Z. OB→=(111)\overrightarrow{OB}=\begin{pmatrix} 1 \\1 \\1 \end{pmatrix} dapat ditulis menjadi 1i^+1j^+1k^=i^+j^+k^1\widehat{i}+1\widehat{j}+1\widehat{k}=\widehat{i}+\widehat{j}+\widehat{k}.

Catatan
Dua vektor atau lebih disebut koplaner jika terletak pada bidang yang sama.
Dua vektor atau lebih disebut kolinear jika terletak pada garis yang sama.

2. Modulus atau Besar vektor

Modulus vektor adalah besar atau panjang suatu vektor. Panjang Vektor OP→=(xyz)\overrightarrow{OP}=\begin{pmatrix} x \\y \\z\end{pmatrix} dirumuskan sebagai berikut. ∣OP→∣=x2+y2+z2\lvert \overrightarrow{OP} \rvert=\sqrt{x^2+y^2+z^2} Jika diketahui titik A(x1,y1,z1)A(x_1,y_1,z_1) dan B(x2,y2,z2)B(x_2,y_2,z_2), secara analitis, diperoleh komponen Vektor AB→=(x2−x1y2−y1z2−y1)\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix} x_2-x_1 \\y_2-y_1 \\z_2-y_1 \end{pmatrix}. Sehingga panjang Vektor AB→\overrightarrow{AB} dapat dirumuskan:

∣AB→∣=(x2−x1)2+(y2−y1)2+(z2−z1)2\lvert \overrightarrow{AB} \rvert=\sqrt{\left( x_2-x_1 \right)^2+\left(y_2-y_1\right)^2+\left( z_2-z_1 \right)^2}

Jika vektor a⃗\vec{a} disajikan dalam bentuk linear a⃗=a1i^+a2j^+a3k^\vec{a}=a_1\widehat{i}+a_2\widehat{j}+a_3\widehat{k}, maka modulus Vektor a⃗\vec{a} adalah ∣a⃗∣=a12+a22+a32\lvert \vec{a} \rvert=\sqrt{a_1^{2}+a_2^{2}+a_3^{2}}

Contoh:
Tentukan modulus/besar vektor berikut!

  1. AB→\overrightarrow{AB} dengan titik A (1, 4, 6) dan B (3, 7, 9)
  2. a⃗=2i^+j^+3k^\vec{a}=2\widehat{i}+\widehat{j}+3\widehat{k}

Alternatif Penyelesaian

  1. Diketahui a⃗=(146)\vec{a}=\begin{pmatrix}1 \\4 \\6\end{pmatrix} dan b⃗=(379)\vec{b}=\begin{pmatrix}3 \\7 \\9 \\ \end{pmatrix} maka AB→=b⃗−a⃗\overrightarrow{AB}=\vec{b}-\vec{a} AB→=b⃗−a⃗AB→=(379)−(146)AB→=(3−17−49−6)AB→=(233)\begin{align*} \overrightarrow{AB}&=\vec{b}-\vec{a} \\\overrightarrow{AB}&=\begin{pmatrix} 3 \\7 \\9\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1 \\4 \\6\end{pmatrix} \\ \overrightarrow{AB}&=\begin{pmatrix} 3-1 \\7-4 \\9-6\end{pmatrix}\\ \overrightarrow{AB}&=\begin{pmatrix}2 \\3 \\3\end{pmatrix} \end{align*} Sehingga panjang vektor ∣AB→∣=22+32+32=4+9+9=22\lvert \overrightarrow{AB} \rvert=\sqrt{2^2+3^2+3^2}=\sqrt{4+9+9}=\sqrt{22}
    Jadi, modulus vektor AB→\overrightarrow{AB} adalah 22.\sqrt{22}.
  2. ∣a⃗∣=22+12+32=14\lvert \vec{a} \rvert=\sqrt{2^2+1^2+3^2}=\sqrt{14}
    Jadi, modulus vektor a⃗\vec{a} adalah 14.\sqrt{14}.

3. Vektor Satuan

Vektor satuan adalah vektor yang mempunyai panjang 1 satuan dan dinotasikan sebagai ee. Vektor satuan dari vektor a⃗\vec{a} didefinisikan vektor a⃗\vec{a} dibagi dengan besar vektor a⃗\vec{a} sendiri, yang dirumuskan dengan ea⃗=a⃗∣a⃗∣=1∣a⃗∣a⃗{{e}_{\vec{a}}}=\frac{\vec{a}}{\lvert \vec{a} \rvert}=\frac{1}{\lvert \vec{a} \rvert}\vec{a}

Contoh:

Tentukan vektor satuan dari Vektor a⃗=(245)\vec{a}=\begin{pmatrix}2 \\4 \\\sqrt{5}\end{pmatrix}

Alternatif penyelesaian:
Terlebih dahulu ditentukan panjang Vektor a⃗\vec{a}
∣a⃗∣=22+42+(5)2=25=5\lvert \vec{a} \rvert=\sqrt{2^2+4^2+(\sqrt{5})^2}=\sqrt{25}=5
ea⃗=15(245)e_{\vec{a}}=\frac{1}{5}\begin{pmatrix} 2 \\4 \\\sqrt{5} \end{pmatrix}
Jadi, Vektor satuan dari a⃗\vec{a} adalah ea⃗=(2/54/55/5)e_{\vec{a}}=\begin{pmatrix} {2}/{5} \\{4}/{5} \\{\sqrt{5}}/{5} \end{pmatrix}

Selain vektor satuan terdapat vektor-vektor satuan yang sejajar dengan sumbu-sumbu koordinat antara lain sebagai berikut.

  1. Vektor satuan yang sejajar dengan sumbu X dinotasikan i^=(100),\widehat{i}=\begin{pmatrix}1 \\0 \\0\end{pmatrix},
  2. Vektor satuan yang sejajar dengan sumbu Y dinotasikan j^=(010)\widehat{j}=\begin{pmatrix}0 \\1 \\0\end{pmatrix}
  3. Vektor satuan yang sejajar dengan sumbu Z dinotasikan k^=(001)\widehat{k}=\begin{pmatrix}0 \\0 \\1 \end{pmatrix}

4. Vektor Posisi

Vektor posisi titik P yaitu vektor yang berpangkal di titik O (0, 0, 0) dan berujung di titik P (x, y, z). Secara aljabar Vektor posisi OP→\overrightarrow{OP} atau p⃗\vec{p} dapat ditulis sebagai berikut. OP→=p⃗=(xyz)=xi^++yj^+zk^\overrightarrow{OP}=\vec{p}=\begin{pmatrix}x \\y \\z\end{pmatrix}=x\widehat{i}++y\widehat{j}+z\widehat{k} Vektor AB→\overrightarrow{AB} dengan titik pangkal A(x1,y1,z1)A(x_1,y_1,z_1) dan titik ujung B(x2,y2,z2)B(x_2,y_2,z_2), memiliki vektor posisi sebagai berikut.

AB→=OB→−OA→=(x2y2z2)−(x1y1z1)=(x2−x1y2−y1z2−z1)\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=\begin{pmatrix} x_2 \\y_2 \\z_2 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} x_1 \\y_1 \\z_1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x_2-x_1 \\y_2-y_1 \\z_2-z_1 \end{pmatrix}

Contoh:

Diketahui titik A(−5,3,4)A(-5, 3, 4) dan titik B(−2,9,1)B(-2, 9, 1). Garis AB memotong bidang datar XY dititik C. Tentukan koordinat titik C!

Alternatif penyelesaian:
Diketahui:
A(−5,3,4)⇒a⃗=(−534)A(-5,3,4)\Rightarrow \vec{a}=\begin{pmatrix}-5 \\3 \\4 \end{pmatrix}, B(−2,9,1)⇒b⃗=(−291)B(-2,9,1)\Rightarrow \vec{b}=\begin{pmatrix} -2 \\ 9 \\1 \end{pmatrix} C pada AB, sehinga vektor AC→\overrightarrow{AC} segaris dengan Vektor AB→\overrightarrow{AB}. Oleh karena itu, AC→=k.AB→c⃗−a⃗=k(b⃗−a⃗)(xyz)−(−534)=k((−291)−(−534))(x+5y−3z−4)=(3k6k−3k)\begin{align*} \overrightarrow{AC}&=k.\overrightarrow{AB} \\ \vec{c}-\vec{a}&=k(\vec{b}-\vec{a}) \\ \begin{pmatrix}x \\ y \\ z \end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-5 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}&=k\left( \begin{pmatrix}-2 \\9 \\1 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-5 \\3 \\4 \end{pmatrix} \right) \\ \begin{pmatrix}x+5 \\ y-3 \\ z-4 \end{pmatrix}&=\begin{pmatrix} 3k \\ 6k \\ -3k \end{pmatrix} \end{align*} Karena AB berada di bidang XY maka z=0z=0 sehingga z−4=−3k0−4=−3kk=43\begin{align*} z-4&=-3k \\ 0-4&=-3k \\ k&=\frac{4}{3} \end{align*} x+5=3kx+5=3.43x=−1\begin{align*} x+5&=3k \\ x+5&=3.\frac{4}{3} \\ x&=-1 \end{align*} y−3=6ky−3=6.43y=11\begin{align*} y-3&=6k \\ y-3&=6.\frac{4}{3} \\ y&=11 \end{align*} Jadi, Vektor posisi c⃗=(−1110)\vec{c}=\begin{pmatrix}-1 \\11 \\0 \end{pmatrix} sehingga koordinat titik C adalah C(−1,11,0)C(-1,11,0)  

Latihan 4

  1. Tentukan modulus dari vektor-vektor berikut :

    1. a⃗=(4−5−3)\vec{a} = \begin{pmatrix}4 \\-5 \\-3 \end{pmatrix}
    2. AB⃗\vec{AB} dengan titik A(−2,3,−1)A (-2 , 3 , -1) dan titik B(2,1,−4)B (2 , 1 , -4)

  2. Diketahui vektor PQ⃗\vec{PQ} dengan titik P (2,5,−4)(2 , 5 , -4) dan Q(1,0,−3)Q (1 , 0 , -3). Tentukan :

    1. Koordinat titik R jika SR⃗\vec{SR} sama dengan vektor PQ⃗\vec{PQ} jika titik S(2,−2,4)S (2 , -2 , 4)
    2. Koordinat titik N jika MN⃗\vec{MN} merupakan negatif vektor PQ⃗\vec{PQ} jika titik M(−1,3,2)M (-1 , 3 , 2)

  3. Tentukan vektor satuan dari vektor-vektor berikut :

    1. u⃗=(00−1)\vec{u} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}
    2. v⃗=(111)\vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}
    3. KL⃗\vec{KL} dengan K(3,−2,1)K (3 , -2 , 1) dan L(2,−2,1)L (2 , -2 , 1)
    4. MN⃗\vec{MN} dengan M(2,1,2)M (2 , 1 , 2) dan N(2,0,3)N (2 , 0 , 3)

  4. Gambarlah vektor dengan titik P(2,−3,1)P (2 , -3 , 1) dan Q(1,3,−2)Q (1 , 3 , -2)

    1. Hitung modulus vektor PQ⃗\vec{PQ}
    2. Buat vektor negatif dari PQ⃗\vec{PQ}, kemudian hitung modulusnya/besarnya !
    3. Apa yang dapat Anda simpulkan dari pekerjaan di atas ?

  5. Jika titik P(1,1,1)P (1 , 1 , 1) dan titik Q(−1,4,−6)Q (-1 , 4 , -6), tentukanlah :

    1. vektor posisi titik P dan titik Q
    2. komponen vektor PQ⃗\vec{PQ}
    3. negatif vektor PQ⃗\vec{PQ}
    4. vektor satuan PQ⃗\vec{PQ}

  6. Tentukan besar vektor berikut beserta vektor satuannya !

    1. u⃗=(241)\vec{u} = \begin{pmatrix}2 \\4 \\1 \end{pmatrix}
    2. w⃗=−i^+5j^+k^\vec{w} = -\widehat{i} + 5\widehat{j} + \widehat{k}
    3. PQ⃗=(−305)\vec{PQ} = \begin{pmatrix} -3 \\0 \\5 \end{pmatrix}